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Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Dans un cours sur les équations différentielles Terminale, tu dois surtout savoir reconnaître les formes $y' = f(x)$, $y' = ay$ et $y' = ay + b$, écrire les solutions attendues et utiliser une condition initiale. La méthode paraît nouvelle, mais elle repose sur des réflexes très réguliers.
Le plus important n'est pas de retenir une formule isolée. C'est de regarder la forme de l'équation, de choisir la bonne famille de solutions, puis de vérifier ton résultat en le dérivant. Dans cet article, tu vas revoir le cours sur les équations différentielles en Terminale, la méthode d'Euler et plusieurs exercices corrigés pas à pas.
📌 À retenir tout de suite
Pour résoudre une équation différentielle, fais toujours ces trois gestes : 1. reconnaître la forme ; 2. écrire la solution générale ; 3. déterminer la constante avec la condition initiale si l'énoncé en donne une. Pour contrôler, dérive ta réponse et remplace-la dans l'équation.
Équations différentielles Terminale : quelle méthode appliquer ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction. Elle contient cette fonction et au moins une de ses dérivées. Par exemple, $y' = 3y - 2$ demande de trouver toutes les fonctions $y$ dont la dérivée est égale à $3y - 2$.
Le programme officiel de Terminale présente le thème « Primitives, équations différentielles ». Il relie les équations différentielles aux primitives et étudie notamment $y' = ay$, $y' = ay + b$ ainsi que l'utilisation de l'algorithme d'Euler pour obtenir une valeur approchée. Tu peux consulter le programme officiel de mathématiques pour retrouver le périmètre exact.
Une équation qui relie y et y'
Dans une équation comme $y' = f(x)$, la fonction $y$ n'apparaît pas directement : on cherche donc une primitive de $f$. Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les solutions s'écrivent $y(x) = F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle. Tu peux revoir les primitives si ce lien te semble encore flou.
Dans une équation comme $y' = ay$, la fonction et sa dérivée apparaissent ensemble. La solution fait intervenir la fonction exponentielle, car la dérivée de $e^{ax}$ est $ae^{ax}$. Dans $y' = ay + b$, on ajoute une solution particulière constante avant de retrouver la forme exponentielle.
Le tableau pour choisir ta méthode
Quelle méthode appliquer ?
| Forme de l'équation | Idée à utiliser | Solution générale |
|---|---|---|
| $y' = f(x)$ | Chercher les primitives de $f$ | $y = F + C$ |
| $y' = ay$ | Reconnaître une exponentielle | $y = Ce^{ax}$ |
| $y' = ay + b$ | Trouver une solution constante puis résoudre l'homogène | $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ |
| $y' = ay + f(x)$ | Utiliser une solution particulière connue | $y = y_p + Ce^{ax}$ |
Le cas $y' = f(x)$ est le plus proche des primitives. Par exemple, pour $y' = 2x + 1$, une primitive de $2x + 1$ est $x^2 + x$. Les solutions sont donc $y(x) = x^2 + x + C$. Si l'énoncé ajoute $y(0) = 3$, alors $C = 3$ et la solution devient $y(x) = x^2 + x + 3$. Cette forme est différente de $y' = ay$ : il n'y a pas de terme $y$ dans le membre de droite, donc tu ne dois pas écrire automatiquement une exponentielle.
Le paramètre $a$ peut aussi être nul. Dans ce cas, $y' = ay$ devient $y' = 0$ et les solutions sont les fonctions constantes. La formule $y(x) = Ce^{ax}$ reste cohérente, car $e^0 = 1$ et elle donne bien $y(x) = C$.
Ne cherche pas à appliquer la formule de $y' = ay + b$ à toutes les équations. Le tableau sert justement à éviter ce mélange. Commence par identifier ce qui dépend de $x$ et ce qui est constant.
Comment résoudre y' = ay ?
Si $a$ est un réel fixé, les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle. Cette forme se vérifie directement : la dérivée de $Ce^{ax}$ est $aCe^{ax}$, donc $y' = ay$. Si tu hésites sur les propriétés utilisées, revois la fonction exponentielle.
La solution générale
Le mot générale signifie que tu donnes toutes les solutions possibles. La constante $C$ est indispensable : chaque valeur de $C$ donne une courbe différente. Pour $a = 2$, par exemple, la famille des solutions est $y(x) = Ce^{2x}$.
Le signe de $a$ donne aussi une information utile. Si $a$ est positif, $e^{ax}$ augmente quand $x$ augmente : la solution garde le signe de $C$ et sa valeur absolue augmente, sauf si $C = 0$. Si $a$ est négatif, la solution se rapproche de zéro quand $x$ augmente. Ce regard qualitatif ne remplace pas le calcul, mais il te permet de repérer une réponse impossible.
Utiliser une condition initiale
Une condition initiale donne une valeur de la fonction à un instant précis, par exemple $y(0) = 5$ ou $y(2) = -1$. Elle sert à trouver la constante $C$.
- Écris la solution générale : $y(x) = Ce^{ax}$.
- Remplace $x$ par la valeur donnée dans la condition.
- Résous l'équation obtenue pour trouver $C$.
- Réécris la solution particulière avec cette valeur.
Exemple : résolvons $y' = 3y$ avec $y(0) = 4$. La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$. La condition donne $y(0) = Ce^0 = C = 4$. La solution cherchée est donc $y(x) = 4e^{3x}$.
💡 L'astuce d'Inès
Quand la condition porte sur $x = 0$, pense à $e^0 = 1$. Dans beaucoup d'exercices, la constante se lit alors directement : si $y(0) = y_0$, la solution de $y' = ay$ devient $y(x) = y_0e^{ax}$.
Comment résoudre y' = ay + b ?
Pour résoudre $y' = ay + b$ avec $a$ non nul, on cherche d'abord une solution particulière constante. On la note souvent $y_p$. Ensuite, on ajoute les solutions de l'équation homogène $y' = ay$.
Trouver une solution particulière constante
Une solution constante a une dérivée nulle. On pose donc $y_p(x) = k$, avec $k$ réel. En remplaçant dans $y' = ay + b$, on obtient :
$$0 = ak + b.$$
Comme $a$ est non nul, on trouve :
$$k = -\frac{b}{a}.$$
La fonction constante $y_p(x) = -\dfrac{b}{a}$ est donc une solution particulière. Vérifie-la toujours : sa dérivée vaut $0$ et $a\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = -b + b = 0$.
Ajouter la solution de l'équation homogène
La solution générale de l'équation homogène associée $y' = ay$ est $Ce^{ax}$. Toutes les solutions de $y' = ay + b$ sont donc :
$$y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}.$$
Pour déterminer $C$, utilise la condition initiale comme dans le cas précédent. Exemple : résolvons $y' = 2y + 6$ avec $y(0) = 1$.
- La solution particulière constante vaut $-\dfrac{6}{2} = -3$.
- La solution générale est $y(x) = Ce^{2x} - 3$.
- Avec $y(0) = 1$, on obtient $C - 3 = 1$, donc $C = 4$.
- La solution correspondant à la condition initiale est $y(x) = 4e^{2x} - 3$.
Contrôle rapide : $y'(x) = 8e^{2x}$ et $2y(x) + 6 = 2(4e^{2x} - 3) + 6 = 8e^{2x}$. L'équation est bien vérifiée.
⚠️ Le piège de la solution particulière
Ne prends pas $b$ comme solution particulière. La constante à chercher est $-\dfrac{b}{a}$, car il faut annuler le membre $ay_p + b$. Le signe moins est facile à oublier : remplace ta constante dans l'équation avant de continuer.
Que faire avec y' = ay + f(x) ?
Le programme peut aussi te demander de partir d'une solution particulière connue de $y' = ay + f(x)$. Si $y_p$ est une solution particulière, alors toutes les solutions s'écrivent :
$$y(x) = y_p(x) + Ce^{ax}.$$
Pourquoi ? Si $y$ et $y_p$ sont deux solutions, leur différence $z = y - y_p$ vérifie $z' = az$. On retombe donc sur l'équation homogène étudiée plus haut.
Dans un exercice, commence par vérifier que la fonction fournie est bien une solution particulière. Puis ajoute $Ce^{ax}$ et utilise la condition initiale. Cette méthode évite de recommencer tout le problème depuis le début.
Un exemple avec une solution particulière donnée
Supposons que l'on te donne l'équation $y' = 2y + x$ et que l'on sache que $y_p(x) = -\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}$ est une solution particulière. Toutes les solutions sont alors :
$$y(x) = -\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + Ce^{2x}.$$
Si une condition $y(0) = 3$ est ajoutée, tu remplaces $x$ par $0$ : $3 = -\dfrac{1}{4} + C$. Tu obtiens $C = \dfrac{13}{4}$. Il n'est pas nécessaire de rechercher une nouvelle solution particulière : celle de l'énoncé suffit.
Comment vérifier qu'une fonction est solution ?
Une vérification d'équation différentielle suit toujours la même routine. Elle ne demande pas d'inventer une méthode supplémentaire.
- Dérive la fonction proposée.
- Calcule le membre de droite en remplaçant $y$ par la fonction proposée.
- Compare les deux expressions et conclus avec une phrase.
Par exemple, pour $y' = 2y + 6$ et $y(x) = 4e^{2x} - 3$, on calcule $y'(x) = 8e^{2x}$. Puis $2y(x) + 6 = 2(4e^{2x} - 3) + 6 = 8e^{2x}$. Les deux membres sont égaux : la fonction est bien solution.
Si l'exercice contient une condition initiale, vérifie-la aussi. Une fonction peut résoudre l'équation différentielle sans être la solution demandée par l'énoncé. La condition sélectionne une seule fonction dans la famille.
La méthode d'Euler : calculer une valeur approchée
La méthode d'Euler sert à approcher une solution lorsque l'on ne dispose pas d'une expression exacte simple ou lorsque l'on veut construire les valeurs une par une. Elle utilise la pente donnée par l'équation différentielle.
La formule de récurrence
Pour une équation écrite sous la forme $y' = f(x,y)$, on choisit un pas $h$, un point de départ $(x_0,y_0)$, puis on calcule :
$$x_{n+1} = x_n + h$$
$$y_{n+1} = y_n + h f(x_n,y_n).$$
Le point $(x_n,y_n)$ représente une valeur approchée de la solution. Le terme $f(x_n,y_n)$ est la pente au point actuel. On avance donc horizontalement de $h$ et verticalement d'environ $h$ fois la pente. Cette logique de pente se retrouve aussi dans les situations de modélisation par les lois de Newton.
Un exemple de tableau d'Euler
Approchons la solution de $y' = y + 1$ avec $y(0) = 0$ et un pas $h = 0{,}2$. Ici, $f(x,y) = y + 1$ : la variable $x$ n'apparaît pas dans le membre de droite, mais la formule reste la même.
Les deux premiers pas
| n | $x_n$ | $y_n$ | $f(x_n,y_n)$ | $y_{n+1}$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | $0 + 1 = 1$ | $0 + 0{,}2 \times 1 = 0{,}2$ |
| 1 | 0{,}2 | 0{,}2 | $0{,}2 + 1 = 1{,}2$ | $0{,}2 + 0{,}2 \times 1{,}2 = 0{,}44$ |
Après deux pas, on obtient donc l'approximation $y(0{,}4) \approx 0{,}44$. La solution exacte de cet exemple est $e^x - 1$, qui vaut environ $0{,}4918$ en $0{,}4$. L'écart vient du fait que la méthode remplace la courbe par des segments. Un pas plus petit donne généralement une approximation plus fine, mais demande davantage de calculs.
💡 À ne pas confondre
Euler fournit une valeur approchée. Ne remplace pas le signe d'approximation par un signe égal sans justification. Dans un tableau, arrondis seulement à la précision demandée et réutilise la valeur arrondie prévue par l'énoncé.
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Mes fiches de révision Maths expertes Bac regroupent les formules, les méthodes et les pièges essentiels pour réviser plus vite, chapitre après chapitre. Tu peux les utiliser en complément de ce cours pour préparer tes contrôles et le bac.
Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Exercices corrigés sur les équations différentielles
Avant d'ouvrir les corrigés, essaie d'identifier la forme de chaque équation. Ce premier geste compte autant que le calcul : il t'indique la méthode et évite les formules placées au hasard.
Maths Exercice 1 : vérifier une solution
On considère l'équation $y' = 3y - 2$ et la fonction $y(x) = 5e^{3x} + 1$. Vérifie que cette fonction est solution.
Voir le corrigé
On dérive : $y'(x) = 15e^{3x}$. Puis $3y(x) - 2 = 3(5e^{3x} + 1) - 2 = 15e^{3x} + 1$. Les deux expressions ne sont pas égales. La fonction proposée n'est donc pas solution. Le piège était de vérifier uniquement la forme exponentielle sans calculer le terme constant.
Compétence évaluée : vérifier une fonction dans les deux membres de l'équation.
Maths Exercice 2 : résoudre y' = ay
Résous $y' = -4y$ avec la condition initiale $y(0) = 7$.
Voir le corrigé
La forme est $y' = ay$ avec $a = -4$. La solution générale est $y(x) = Ce^{-4x}$. La condition $y(0) = 7$ donne $C e^0 = C = 7$. La solution cherchée est donc $y(x) = 7e^{-4x}$.
Compétence évaluée : reconnaître $y' = ay$ et utiliser une condition initiale.
Maths Exercice 3 : résoudre y' = ay + b
Résous $y' = -2y + 8$ avec $y(0) = 1$.
Voir le corrigé
On cherche d'abord la solution particulière constante : $y_p = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-2} = 4$. La solution générale est donc $y(x) = Ce^{-2x} + 4$. Avec $y(0) = 1$, on obtient $C + 4 = 1$, donc $C = -3$. La solution est $y(x) = -3e^{-2x} + 4$. Vérification : $y'(x) = 6e^{-2x}$ et $-2y(x) + 8 = -2(-3e^{-2x} + 4) + 8 = 6e^{-2x}$.
Compétence évaluée : trouver une solution particulière constante, puis déterminer $C$.
Maths Exercice 4 : appliquer Euler
On considère $y' = 2y + 1$, $y(0) = 0$ et un pas $h = 0{,}1$. Calcule l'approximation de $y(0{,}1)$ par la méthode d'Euler.
Voir le corrigé
On part de $(x_0,y_0) = (0,0)$ et $f(x,y) = 2y + 1$. La pente initiale vaut $f(0,0) = 1$. La formule donne $y_1 = y_0 + h f(x_0,y_0) = 0 + 0{,}1 \times 1 = 0{,}1$. Ainsi, $y(0{,}1) \approx 0{,}1$ avec ce pas d'Euler.
Compétence évaluée : utiliser correctement une pente et un pas dans la méthode d'Euler.
Les erreurs fréquentes à éviter
Les quatre pièges qui reviennent souvent
- Oublier la constante $C$ : $y = e^{ax}$ n'est qu'une solution particulière de $y' = ay$, pas la solution générale.
- Oublier la solution particulière : pour $y' = ay + b$, écrire seulement $Ce^{ax}$ ne peut pas convenir lorsque $b$ est non nul.
- Se tromper de signe : la constante particulière vaut $-\dfrac{b}{a}$. Remplace-la dans l'équation pour contrôler.
- Confondre exact et approché : les valeurs d'Euler sont notées avec une approximation et dépendent du pas choisi.
Un dernier réflexe est très rentable : encadre la forme générale avant de calculer la constante. Si tu écris directement une expression finale, tu risques de perdre le fil et de ne plus savoir quelle condition utiliser.
La méthode express avant de rendre ta copie
- Je repère si l'équation est de type $y' = f$, $y' = ay$, $y' = ay + b$ ou si une solution particulière est donnée.
- J'écris toutes les solutions avec la constante $C$.
- J'utilise la condition initiale, si elle existe.
- Je dérive ma réponse et je remplace $y$ dans l'équation.
- Si j'ai utilisé Euler, je vérifie le pas, la pente et le signe d'approximation.
Pour organiser ta préparation, tu peux aussi consulter le guide général de préparation au bac de spécialité maths.
Questions fréquentes sur les équations différentielles
Quelles équations différentielles faut-il connaître en Terminale ?
Tu dois surtout savoir traiter $y' = f(x)$ par les primitives, $y' = ay$ avec la solution $Ce^{ax}$ et $y' = ay + b$ en trouvant d'abord la solution particulière constante $-\dfrac{b}{a}$. Le programme mentionne aussi la méthode d'Euler pour obtenir des valeurs approchées.
Que faire quand le terme b est présent ?
Pour $y' = ay + b$ avec $a$ non nul, cherche une solution constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$. Ajoute ensuite la solution de l'équation homogène : $y = y_p + Ce^{ax}$. La condition initiale permet de trouver $C$.
À quoi sert la condition initiale ?
La condition initiale sélectionne une seule solution dans la famille générale. Tu remplaces la valeur de $x$ et de $y$ donnée dans la formule, puis tu résous l'équation obtenue pour déterminer la constante $C$.
La méthode d'Euler donne-t-elle une valeur exacte ?
Non. Euler fournit une approximation construite à partir de la pente et d'un pas. Un pas plus petit améliore généralement la précision, mais augmente le nombre de calculs.
Les équations du second ordre sont-elles nécessaires ici ?
Non, elles ne sont pas nécessaires pour maîtriser le chapitre de Terminale traité dans cet article. Concentre-toi d'abord sur les équations du premier ordre du programme : primitives, $y' = ay$, $y' = ay + b$, solution particulière connue et méthode d'Euler.
Besoin d'une révision complète avant le bac ?
Retrouve les méthodes et formules essentielles de la spécialité maths dans mes fiches de révision. Tu peux commencer par ce chapitre, puis vérifier les autres notions avec un support organisé.
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