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Une fonction $f$ est continue en un point $a$ lorsque sa courbe ne présente aucun saut en ce point : concrètement, $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. Une fonction continue sur un intervalle se trace « sans lever le crayon ».
Si tu lis cet article, c'est sûrement que la continuité vient d'arriver dans ton cours, avec son fameux théorème des valeurs intermédiaires. Bonne nouvelle : en spé maths, la continuité sert surtout à un objectif très concret, montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une solution, et même une seule. Une fois que tu as la méthode en tête, ces questions deviennent des points presque automatiques au bac. C'est exactement ce qu'on construit ici, étape par étape.
📌 À Retenir
$f$ est continue en $a$ signifie $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, $e^x$, $\ln$, $\cos$, $\sin$, racine) sont continues sur leur ensemble de définition. La continuité ouvre la porte au théorème des valeurs intermédiaires, l'outil pour prouver qu'une équation a une solution.
Qu'est-ce que la continuité d'une fonction ?
Intuitivement, une fonction est continue si on peut tracer sa courbe d'un seul trait, sans lever le crayon. Formellement, $f$ est continue en $a$ si la limite de $f$ en $a$ existe et vaut exactement $f(a)$. Si la courbe fait un « saut » en $a$, la fonction y est discontinue. C'est le cas de la fonction partie entière, qui saute à chaque nombre entier.
En pratique, tu n'auras presque jamais à revenir à la définition avec les limites. Tu utiliseras plutôt ce résultat très commode : les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition, et les sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composées de fonctions continues restent continues. Comme la fonction exponentielle, qui est continue sur $\mathbb{R}$.
📌 À Retenir
Un lien à connaître : si $f$ est dérivable sur un intervalle, alors elle y est continue. Mais la réciproque est fausse : la fonction $|x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable (sa courbe forme un angle). Dérivable implique continue, jamais l'inverse.
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
C'est le résultat central du chapitre. Il dit une chose intuitive : une fonction continue qui passe d'une valeur à une autre prend forcément toutes les valeurs intermédiaires.
Les deux versions du TVI à connaître
| Version | Hypothèses | Conclusion |
|---|---|---|
| TVI (existence) | $f$ continue sur $[a\,;\,b]$, $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ | l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ |
| Corollaire (unicité) | $f$ continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ | l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a\,;\,b]$ |
La différence est cruciale : le TVI seul donne l'existence d'une solution, mais c'est l'hypothèse de stricte monotonie qui assure son unicité. Voici la situation du corollaire : une fonction continue et strictement croissante coupe chaque droite horizontale une seule fois.
$f$ continue et strictement croissante sur $[a\,;\,b]$ : pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $c$.
Tu veux la méthode TVI sur une seule fiche claire ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac résument la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires et la méthode d'unicité d'une solution sur une page propre. De quoi traiter ces questions de bac sans hésiter, et sans oublier une hypothèse le jour J.
Voir les fiches Spé Maths Bac ›La méthode pour montrer qu'une équation a une solution unique
C'est la question type du bac. Pour montrer que $f(x) = k$ admet une unique solution sur un intervalle, déroule toujours les mêmes étapes :
- 1. Continuité : justifie que $f$ est continue sur l'intervalle (somme, quotient ou composée de fonctions usuelles).
- 2. Stricte monotonie : étudie le signe de $f'$ pour montrer que $f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur l'intervalle.
- 3. Encadrement de $k$ : calcule $f(a)$ et $f(b)$ et vérifie que $k$ est bien compris entre les deux.
- 4. Conclusion : par le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans l'intervalle.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour approcher la solution sans la calculer exactement, utilise le balayage à la calculatrice : tu testes des valeurs de plus en plus précises jusqu'à voir $f$ changer de signe. Si $f(0{,}6)$ est négatif et $f(0{,}7)$ positif, alors la solution est entre $0{,}6$ et $0{,}7$. C'est la méthode attendue pour donner un encadrement.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier la stricte monotonie. Le TVI seul donne l'existence, pas l'unicité. Pour conclure qu'il y a une seule solution, tu dois absolument justifier que $f$ est strictement monotone.
2. Croire que continue veut dire dérivable. C'est l'inverse : dérivable implique continue. Une fonction peut être continue sans être dérivable (un angle, comme $|x|$ en $0$).
3. Mal encadrer $k$. Avant de conclure, vérifie que la valeur $k$ est bien comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. Sinon, le théorème ne s'applique pas sur cet intervalle.
4. Confondre la valeur et l'abscisse. La solution $c$ est l'abscisse qui vérifie $f(c) = k$, pas la valeur $k$ elle-même. Réponds bien à la question posée.
Exercices corrigés
Maths Exercice 1 : continuité d'une fonction par morceaux
Soit $f$ définie par $f(x) = x^2 + 1$ si $x \le 1$ et $f(x) = 2x$ si $x > 1$. Étudie la continuité de $f$ en $1$.
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On compare la limite à gauche, la limite à droite et la valeur en $1$. À gauche : $\lim\limits_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$. À droite : $\lim\limits_{x \to 1^+} 2x = 2$. Valeur : $f(1) = 1^2 + 1 = 2$. Les trois coïncident, donc $f$ est continue en $1$.
Compétence évaluée : vérifier la continuité d'un raccord (limites à gauche, à droite, valeur).
Maths Exercice 2 : justifier la continuité sur un intervalle
Justifie que la fonction $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
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Le numérateur $2x + 1$ et le dénominateur $x^2 + 1$ sont des polynômes, donc continus sur $\mathbb{R}$. De plus, le dénominateur $x^2 + 1$ ne s'annule jamais (il est strictement positif). Un quotient de fonctions continues, dont le dénominateur ne s'annule pas, est continu : $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}$.
Compétence évaluée : utiliser la continuité des fonctions usuelles et des quotients.
Maths Exercice 3 : existence d'une solution (TVI)
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0\,;\,1]$.
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$f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;\,1]$. On calcule les valeurs aux bornes : $f(0) = -1$ (négatif) et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$ (positif). Comme $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe au moins un réel $c$ de $[0\,;\,1]$ tel que $f(c) = 0$.
Compétence évaluée : appliquer le TVI avec un changement de signe.
Maths Exercice 4 : unicité de la solution
Avec $f(x) = x^3 + x - 1$, montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;\,1]$.
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On reprend l'exercice 3 (continuité et changement de signe), et on ajoute la stricte monotonie. La dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 1$, qui est strictement positive pour tout $x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$. Par le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;\,1]$.
Compétence évaluée : ajouter la stricte monotonie pour conclure à l'unicité.
Maths Exercice 5 : encadrer la solution
Donne un encadrement d'amplitude $0{,}1$ de la solution $c$ de $f(x) = 0$, avec $f(x) = x^3 + x - 1$.
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On teste des valeurs à la calculatrice (balayage). $f(0{,}6) = 0{,}216 + 0{,}6 - 1 = -0{,}184$ (négatif). $f(0{,}7) = 0{,}343 + 0{,}7 - 1 = 0{,}043$ (positif). La fonction change de signe entre $0{,}6$ et $0{,}7$, donc $0{,}6 < c < 0{,}7$. C'est l'encadrement demandé.
Compétence évaluée : encadrer une solution par balayage.
Maths Exercice 6 : continuité et dérivabilité
Un élève affirme que toute fonction continue est dérivable. Donne un contre-exemple qui montre que c'est faux.
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La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est un contre-exemple. Elle est continue en $0$ (sa courbe ne fait aucun saut, $\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$). Mais elle n'est pas dérivable en $0$ : la pente vaut $-1$ à gauche et $+1$ à droite, sa courbe forme un angle. Donc continue n'implique pas dérivable.
Compétence évaluée : distinguer continuité et dérivabilité.
La fiche récap : tout l'essentiel
L'essentiel de la continuité
- Définition : $f$ continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
- Fonctions continues : polynômes, $e^x$, $\ln$, $\cos$, $\sin$, racine, et leurs sommes, produits, quotients, composées.
- Lien : dérivable implique continue (mais pas l'inverse, ex. $|x|$ en $0$).
- TVI : $f$ continue sur $[a\,;\,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $f(x) = k$ a au moins une solution.
- Unicité : en ajoutant strictement monotone, la solution devient unique.
- Méthode : continuité, stricte monotonie, encadrement de $k$, conclusion.
- Encadrement : balayage à la calculatrice jusqu'au changement de signe.
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Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur la continuité
Qu'est-ce que la continuité d'une fonction ?
Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$, c'est-à-dire si sa courbe ne fait aucun saut en ce point. Une fonction continue sur un intervalle se trace sans lever le crayon.
Comment montrer qu'une fonction est continue ?
En pratique, on utilise que les fonctions usuelles (polynômes, $e^x$, $\ln$, $\cos$, $\sin$, racine) sont continues sur leur ensemble de définition. Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues restent continues.
Qu'est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ?
Le TVI dit que si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$. Une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires.
Comment montrer qu'une équation a une unique solution ?
On justifie d'abord que $f$ est continue, puis qu'elle est strictement monotone (signe de $f'$), et enfin que $k$ est encadré par $f(a)$ et $f(b)$. Par le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = k$ a alors une unique solution.
Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?
Non. Dérivable implique continue, mais la réciproque est fausse. La fonction $|x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable, car sa courbe forme un angle (pente $-1$ à gauche, $+1$ à droite).
Comment encadrer la solution d'une équation ?
On utilise le balayage à la calculatrice : on teste des valeurs de plus en plus précises jusqu'à observer un changement de signe de $f$. Si $f(0{,}6)$ est négatif et $f(0{,}7)$ positif, la solution est comprise entre $0{,}6$ et $0{,}7$.
En quelle classe étudie-t-on la continuité ?
La continuité et le théorème des valeurs intermédiaires sont au programme de Terminale spé maths. Ils s'appuient sur les limites et les dérivées, et servent à prouver l'existence et l'unicité des solutions d'équations.