La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut $1$ en $0$. Elle est définie pour tout réel $x$, toujours strictement positive, et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Si tu lis cet article, c'est sûrement que l'exponentielle vient de débarquer dans ton cours, ou qu'elle te résiste depuis un moment. Bonne nouvelle : tu l'as déjà rencontrée en Première, et en Terminale spé maths tout repose sur une poignée de réflexes très simples. Une fois que tu connais ses propriétés et que tu sais quand sortir chaque règle, tu ne perds plus jamais de points dessus, ni sur une dérivée, ni sur une équation, ni sur une limite. C'est exactement ce qu'on va construire ici, étape par étape.
📌 À Retenir
La fonction exponentielle vérifie deux choses qui définissent tout le reste : $f'(x) = f(x)$ (elle est sa propre dérivée) et $f(0) = 1$. On la note $e^x$, avec $e \approx 2{,}718$. Le résultat clé du chapitre : $e^x > 0$ pour tout réel $x$, donc l'exponentielle ne s'annule jamais.
La fonction exponentielle, c'est quoi exactement ?
Tu connais déjà des fonctions de référence : les fonctions affines, le carré, la racine, l'inverse. La fonction exponentielle en est une nouvelle, et elle a une particularité unique en son genre : elle est égale à sa propre dérivée. Autrement dit, sa pente en chaque point est égale à sa valeur en ce point. Aucune autre fonction (à part la fonction nulle) ne fait ça. C'est un chapitre aussi incontournable que le produit scalaire en géométrie.
On la note $\exp(x)$, mais dans la pratique tu écriras presque toujours $e^x$, où $e$ est un nombre irrationnel qui vaut environ $2{,}718$. C'est l'analogue, pour l'exponentielle, de ce que $\pi$ est pour le cercle : un nombre fondamental que tu rencontreras partout.
Deux valeurs sont à connaître par cœur : $e^0 = 1$ (l'exponentielle vaut $1$ en zéro) et $e^1 = e \approx 2{,}718$. Sa courbe passe donc par le point de coordonnées $(0\,;\,1)$, elle reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (puisque $e^x > 0$), et elle grimpe de plus en plus vite vers la droite. Voilà l'allure générale à avoir en tête.
📌 À Retenir
Pourquoi $e^x > 0$ tout le temps ? Parce que l'exponentielle ne s'annule jamais et qu'elle vaut $1$ (donc positif) en $0$ : par continuité, elle reste du même côté. Conséquence directe : tu ne pourras jamais « simplifier » un $e^x$ en le faisant valoir zéro. C'est ce détail qui te servira à factoriser dans les équations.
Les propriétés de l'exponentielle en un tableau
C'est ici que la plupart des élèves se dispersent : les règles sont éparpillées dans le cours, et le jour du contrôle on ne sait plus laquelle appliquer. Voici donc toutes les propriétés réunies en un seul tableau. Garde-le en tête, c'est ton mémo de référence pour tout le chapitre.
Toutes les propriétés de la fonction exponentielle
| Propriété | Règle | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|
| Valeur en 0 | $e^0 = 1$ | La courbe passe par $(0\,;\,1)$ |
| Valeur en 1 | $e^1 = e \approx 2{,}718$ | Le nombre $e$ de référence |
| Signe | $e^x > 0$ pour tout $x$ | Toujours positif, ne s'annule jamais |
| Sens de variation | strictement croissante sur $\mathbb{R}$ | Plus $x$ grandit, plus $e^x$ grandit |
| Dérivée | $(e^x)' = e^x$ | Égale à elle-même |
| Dérivée composée | $(e^u)' = u'\,e^u$ | On multiplie par la dérivée de l'exposant |
| Produit | $e^{a+b} = e^a \times e^b$ | Une somme en exposant devient un produit |
| Inverse | $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ | Le signe moins passe au dénominateur |
| Quotient | $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ | Une différence devient un quotient |
| Puissance | $(e^a)^n = e^{na}$ | On multiplie l'exposant par $n$ |
| Limite en $+\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ | Explose vers le haut |
| Limite en $-\infty$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ | Se rapproche de l'axe des $x$ |
Ce tableau est volontairement complet : tu peux y revenir à chaque exercice. Dans les parties qui suivent, on déplie chaque bloc (algèbre, dérivée, limites) avec des exemples concrets pour que les règles ne restent pas abstraites.
Les propriétés algébriques (les 4 règles)
L'exponentielle transforme les opérations sur les exposants. C'est la même logique que les puissances que tu connais depuis le collège ($a^m \times a^n = a^{m+n}$), appliquée à la base $e$. Si tu veux replacer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, retrouve-le dans le guide de spé maths Terminale. Quatre règles à maîtriser :
- Produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$. Une somme dans l'exposant se transforme en produit.
- Inverse : $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$. Un exposant négatif devient un inverse (et reste positif, attention au piège).
- Quotient : $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$. Une différence dans l'exposant devient un quotient.
- Puissance : $(e^a)^n = e^{na}$. On multiplie simplement l'exposant par la puissance.
Ces règles servent surtout à simplifier une expression avant de dériver ou de résoudre. Par exemple, $\dfrac{e^{2x} \times e^3}{e^{x}}$ se simplifie en $e^{2x + 3 - x} = e^{x + 3}$. Tu regroupes tout en une seule exponentielle, et le calcul devient évident.
Tu veux toutes ces formules sur une seule fiche claire ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac condensent l'exponentielle (propriétés, dérivées, limites, méthodes) en une page propre. De quoi réviser efficace sans recopier tout le cours, et sans oublier une règle le jour J.
Voir les fiches Spé Maths Bac ›Dériver une exponentielle : e^x et e^u
La dérivation de l'exponentielle est l'une des questions qui revient le plus souvent à l'épreuve. Il y a deux cas, et tout l'enjeu est de bien les distinguer.
Cas simple : la dérivée de e^x
C'est la propriété fondatrice du chapitre, et la plus simple à retenir :
$$(e^x)' = e^x$$
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée. Tu dérives $e^x$, tu obtiens $e^x$. Rien de plus.
Cas composé : la dérivée de e^u
Dès que l'exposant n'est plus juste $x$ mais une fonction $u(x)$ (par exemple $3x + 1$, ou $x^2$, ou $-2x$), tu appliques la dérivée composée :
$$(e^u)' = u' \times e^u$$
Concrètement, tu recopies l'exponentielle telle quelle, et tu la multiplies par la dérivée de l'exposant. Exemple : pour $f(x) = e^{3x+1}$, l'exposant est $u = 3x + 1$, donc $u' = 3$, et $f'(x) = 3\,e^{3x+1}$. Autre exemple : pour $g(x) = e^{x^2}$, on a $u = x^2$ donc $u' = 2x$, et $g'(x) = 2x\,e^{x^2}$.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour ne jamais oublier le $u'$, lis toujours l'exposant à voix basse avant de dériver : « l'exposant, c'est $3x + 1$, sa dérivée c'est $3$ ». Tu écris alors $3\,e^{3x+1}$ sans réfléchir. L'erreur classique, c'est de recopier $e^{3x+1}$ sans le facteur devant : ça coûte des points à chaque copie.
Les limites et la croissance comparée
Le sens de variation et les limites de l'exponentielle se déduisent directement de son signe et de sa dérivée. Comme $(e^x)' = e^x > 0$, la dérivée est toujours strictement positive : la fonction est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ses limites aux bornes :
$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$
Vers la droite, l'exponentielle explose. Vers la gauche, elle se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre (l'axe des abscisses est une asymptote horizontale en $-\infty$). Voilà pourquoi $e^x$ reste toujours strictement positif.
Il y a ensuite un résultat plus subtil, mais incontournable au bac : la croissance comparée. L'idée, c'est que l'exponentielle grandit plus vite que n'importe quelle puissance de $x$. Formellement :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$$
La première limite dit que $e^x$ l'emporte sur $x$ en $+\infty$ (l'exponentielle « gagne » la course). La seconde dit que quand $x$ tend vers $-\infty$, l'exponentielle écrase le facteur $x$ et tout le produit tend vers $0$. Ces deux limites lèvent les formes indéterminées du type « $\infty / \infty$ » ou « $\infty \times 0$ » que tu croiseras dans les études de fonctions.
📌 À Retenir
En cas de forme indéterminée avec une exponentielle, pense croissance comparée : l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances de $x$. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$.
Résoudre une équation ou une inéquation exponentielle
C'est l'application la plus testée à l'examen. Tout repose sur une propriété simple : comme l'exponentielle est strictement croissante, elle conserve l'ordre et l'égalité. Trois réflexes suffisent.
Réflexe 1 : équations de la forme e^A = e^B
Quand tu as une exponentielle de chaque côté du signe égal, tu peux « ôter les exponentielles » et égaliser les exposants :
$$e^x = e^y \iff x = y$$
Exemple : pour résoudre $e^{2x} = e^{x+3}$, tu égalises les exposants, ce qui donne $2x = x + 3$, soit $x = 3$. L'équation est résolue en une ligne.
Réflexe 2 : équations de la forme e^x = k
Quand l'exponentielle est égale à un nombre $k$, tu utilises le logarithme népérien $\ln$ (la fonction réciproque de l'exponentielle) :
$$e^x = k \iff x = \ln k \quad (\text{avec } k > 0)$$
La condition $k > 0$ est essentielle : comme $e^x > 0$, une équation comme $e^x = -2$ n'a aucune solution. Exemple : $e^x = 5$ donne directement $x = \ln 5$.
Réflexe 3 : inéquations (l'exponentielle est croissante)
Comme l'exponentielle est strictement croissante, elle conserve le sens des inégalités :
$$e^x < e^y \iff x < y$$
Tu raisonnes exactement comme avec les égalités, en gardant le sens de l'inégalité. Et quand un facteur $e^{\text{quelque chose}}$ apparaît dans une étude de signe, souviens-toi qu'il est toujours strictement positif : il ne change donc jamais le signe du produit.
Pour les équations plus longues (du type $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$), il existe un quatrième réflexe : poser $X = e^x$ pour te ramener à une équation du second degré en $X$, la résoudre, puis revenir à $x$ avec $\ln$ en vérifiant que chaque solution est strictement positive. Mais les trois réflexes ci-dessus couvrent la grande majorité des questions de bac.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Croire que $e^x$ peut valoir zéro. L'exponentielle est strictement positive partout : $e^x > 0$. Donc une équation $e^x = 0$ ou $e^x = -3$ n'a aucune solution. Et quand tu factorises par $e^x$, ce facteur ne s'annule jamais : seul l'autre facteur peut être nul.
2. Dériver $e^u$ comme un polynôme. La dérivée de $e^{3x+1}$ n'est pas $x\,e^{...}$ ni $e^{3x+1}$ tout seul : c'est $3\,e^{3x+1}$. On recopie l'exponentielle et on multiplie par $u'$. Ne confonds jamais avec la dérivée d'une puissance $x^n$.
3. Oublier le signe avec $e^{-a}$. $e^{-a}$ vaut $\dfrac{1}{e^a}$, c'est un nombre positif, pas un nombre négatif. Le signe moins est dans l'exposant, pas devant la fraction.
4. Appliquer $\ln$ à une valeur négative. $\ln k$ n'existe que pour $k > 0$. Avant d'écrire $x = \ln k$, vérifie toujours que $k$ est strictement positif.
Exercices corrigés
Maths Exercice 1 : résoudre une équation e^A = e^B
Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} = e^{x+3}$.
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Les deux membres sont des exponentielles, donc on égalise les exposants (réflexe 1) : $e^{2x} = e^{x+3} \iff 2x = x + 3$. On résout : $2x - x = 3$, soit $x = 3$. La solution est $x = 3$.
Compétence évaluée : utiliser $e^x = e^y \iff x = y$.
Maths Exercice 2 : dériver une exponentielle composée
Dérive la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{3x+1}$.
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On applique la dérivée composée $(e^u)' = u'\,e^u$. Ici l'exposant est $u = 3x + 1$, donc $u' = 3$. On obtient $f'(x) = 3\,e^{3x+1}$. On recopie l'exponentielle et on multiplie par la dérivée de l'exposant.
Compétence évaluée : appliquer $(e^u)' = u'\,e^u$ sans oublier le facteur $u'$.
Maths Exercice 3 : résoudre une équation e^x = k
Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x = 5$.
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Comme $5 > 0$, l'équation a une solution (réflexe 2). On applique le logarithme népérien : $e^x = 5 \iff x = \ln 5$. La solution exacte est $x = \ln 5$ (environ $1{,}61$). On garde la forme exacte $\ln 5$ dans la réponse.
Compétence évaluée : utiliser $e^x = k \iff x = \ln k$ et vérifier $k > 0$.
Maths Exercice 4 : résoudre une inéquation
Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{x+2} < e^{2x-1}$.
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L'exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve le sens de l'inégalité (réflexe 3) : $e^{x+2} < e^{2x-1} \iff x + 2 < 2x - 1$. On résout : $2 + 1 < 2x - x$, soit $3 < x$, c'est-à-dire $x > 3$. L'ensemble des solutions est $\,]3\,;\,+\infty[\,$.
Compétence évaluée : utiliser la croissance de l'exponentielle sur une inéquation.
Maths Exercice 5 : limite avec croissance comparée
Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$.
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On reconnaît une forme indéterminée « $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ ». C'est précisément le théorème de croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur la puissance de $x$. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$. Pas besoin de calcul supplémentaire, c'est un résultat de cours à citer.
Compétence évaluée : reconnaître et appliquer la croissance comparée.
Maths Exercice 6 : le piège de la dérivée composée
Un élève affirme que la dérivée de $f(x) = e^{-2x}$ est $f'(x) = e^{-2x}$. Repère son erreur et donne la bonne dérivée.
Voir le corrigé
L'élève a oublié de multiplier par la dérivée de l'exposant. L'exposant est $u = -2x$, donc $u' = -2$. La formule $(e^u)' = u'\,e^u$ donne $f'(x) = -2\,e^{-2x}$. La bonne réponse est $f'(x) = -2\,e^{-2x}$ : le facteur $-2$ est indispensable, et au passage il rend la dérivée négative (cohérent, car $f$ est décroissante).
Compétence évaluée : ne pas oublier le facteur $u'$ dans $(e^u)'$.
La fiche récap : tout l'essentiel
L'essentiel de la fonction exponentielle
- Définition : $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$, notée $e^x$, avec $e \approx 2{,}718$.
- Signe : $e^x > 0$ pour tout $x$ (ne s'annule jamais).
- Variation : strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- Dérivées : $(e^x)' = e^x$ et $(e^u)' = u'\,e^u$.
- Algèbre : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $\; e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, $\; e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $\; (e^a)^n = e^{na}$.
- Limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, $\; \lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.
- Croissance comparée : $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, $\; \lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$.
- Équations : $e^x = e^y \iff x = y$ ; $\; e^x = k \iff x = \ln k$ (si $k > 0$).
Prêt(e) à viser une bonne note au bac de maths ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac couvrent tout le programme, exponentielle comprise, avec les méthodes, les limites et les pièges à connaître. Tout ce qu'il te faut pour réviser vite et juste avant l'épreuve.
Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur la fonction exponentielle
Quelle est la formule de la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle est notée $e^x$ et se définit par deux propriétés : elle est égale à sa propre dérivée ($f'(x) = f(x)$) et elle vaut $1$ en zéro ($e^0 = 1$). Sa dérivée est $(e^x)' = e^x$, et pour une exponentielle composée, $(e^u)' = u'\,e^u$.
Pourquoi $e^x$ est-il toujours positif ?
Parce que l'exponentielle ne s'annule jamais et qu'elle vaut $1$ (donc positif) en $0$. Par continuité, elle reste du même côté de l'axe : $e^x > 0$ pour tout réel $x$. C'est pour cela qu'une équation comme $e^x = -2$ n'a aucune solution.
Comment dériver une fonction exponentielle ?
Pour $e^x$, la dérivée est $e^x$ (la fonction est égale à sa dérivée). Pour une exponentielle composée $e^u$, on applique $(e^u)' = u'\,e^u$ : on recopie l'exponentielle et on la multiplie par la dérivée de l'exposant. Par exemple, $(e^{3x+1})' = 3\,e^{3x+1}$.
Comment résoudre une équation avec l'exponentielle ?
Si tu as $e^A = e^B$, tu égalises les exposants : $A = B$. Si tu as $e^x = k$ avec $k > 0$, tu utilises le logarithme : $x = \ln k$. Et comme $e^x > 0$, une équation $e^x = k$ avec $k$ négatif ou nul n'a pas de solution.
Quelles sont les limites de la fonction exponentielle ?
En $+\infty$, l'exponentielle tend vers $+\infty$. En $-\infty$, elle tend vers $0$ (l'axe des abscisses est une asymptote horizontale). Par croissance comparée, $\frac{e^x}{x}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, car l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances de $x$.
Quelle est la valeur du nombre e ?
Le nombre $e$ est un nombre irrationnel qui vaut environ $2{,}718$. C'est la valeur de l'exponentielle en $1$ : $e^1 = e$. Il joue pour l'exponentielle le rôle que $\pi$ joue pour le cercle, un nombre fondamental que l'on retrouve partout en analyse.
En quelle classe étudie-t-on la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle est introduite en Première spé maths, puis approfondie en Terminale spé maths (dérivée composée, limites, croissance comparée, équations et inéquations). C'est un chapitre central qui tombe régulièrement à l'épreuve du bac.