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Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$, c'est-à-dire telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$. Chercher une primitive, c'est donc faire l'opération inverse de la dérivation : on remonte de $f$ vers $F$.
Si tu lis cet article, c'est sûrement que les primitives viennent d'arriver dans ton cours, juste avant le calcul intégral. Bonne nouvelle : tout repose sur un tableau à connaître et trois ou quatre formes à reconnaître. Une fois que tu sais lire une fonction « à l'envers » et ajuster le coefficient, tu trouves une primitive en quelques secondes, et tu débloques tout le calcul d'aires qui suit. C'est exactement ce qu'on construit ici, étape par étape.
📌 À Retenir
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ signifie $F'(x) = f(x)$. Deux résultats clés : toute fonction continue sur $I$ admet des primitives, et si $F$ en est une, alors toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle quelconque.
Qu'est-ce qu'une primitive exactement ?
Tu sais dériver : à partir de $F$, tu obtiens $F'$. Une primitive fait le chemin inverse : à partir de $f$, tu cherches une fonction $F$ dont la dérivée redonne $f$. Par exemple, une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$, puisque $(x^2)' = 2x$. C'est la même idée que pour la fonction exponentielle, qui est sa propre dérivée et donc sa propre primitive.
Un point essentiel : une fonction n'a pas une seule primitive, mais une infinité. Comme la dérivée d'une constante est nulle, $x^2$, $x^2 + 1$ et $x^2 - 7$ ont toutes la même dérivée $2x$. On écrit donc l'ensemble des primitives sous la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle. Cette constante ne disparaît que si l'énoncé impose une condition (on en reparle dans la méthode).
📌 À Retenir
Deux primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constante. C'est pourquoi on n'oublie jamais le « $+ C$ » quand on donne l'ensemble des primitives. L'existence est garantie dès que $f$ est continue sur l'intervalle.
Le tableau des primitives usuelles
C'est le cœur du chapitre. Comme pour les dérivées, il faut connaître les primitives de référence par cœur. Voici le tableau complet : chaque ligne se lit « une primitive de $f$ est $F$ » (sans oublier le $+ C$).
Les primitives usuelles à connaître
| Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Sur |
|---|---|---|
| $a$ (constante) | $ax$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \ne -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$) |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln(x)$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
Pour vérifier une ligne, il suffit de dériver la colonne de droite : tu dois retomber sur la colonne de gauche. C'est le réflexe de contrôle à avoir le jour du bac.
Les primitives des formes composées
Dès qu'une fonction $u$ apparaît à l'intérieur (par exemple $e^{2x}$ ou $\dfrac{1}{x^2+1}$), tu utilises les formes composées. Ce sont les formules de dérivation lues à l'envers. Les quatre à connaître :
- Puissance : $u'\,u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \ne -1$).
- Exponentielle : $u'\,e^u$ a pour primitive $e^u$.
- Logarithme : $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln(u)$, quand $u > 0$.
- Racine : $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u}$.
Tout l'art consiste à reconnaître la forme, puis à ajuster le coefficient si le $u'$ n'est pas exactement présent. Exemple : pour $f(x) = e^{2x}$, on a $u = 2x$ donc $u' = 2$. Il manque un facteur $2$, on compense en divisant : $F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x}$. On vérifie en dérivant : $\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)' = \dfrac{1}{2} \times 2\,e^{2x} = e^{2x}$.
Le lien avec l'intégrale
Les primitives ne sont pas qu'un exercice technique : elles servent à calculer des aires. C'est le théorème fondamental de l'analyse : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $F(b) - F(a)$, ce qui correspond à l'aire sous la courbe.
L'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Tu veux le tableau des primitives sur une seule fiche claire ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac réunissent les primitives usuelles, les formes composées et la méthode d'ajustement du coefficient sur une page propre. De quoi réviser efficace sans recopier tout le cours, et sans oublier le « $+ C$ » le jour J.
Voir les fiches Spé Maths Bac ›La méthode pour trouver une primitive
Face à une fonction, procède toujours dans le même ordre. C'est cette routine qui t'évite les blocages :
- 1. Découper en somme : une primitive d'une somme est la somme des primitives. Tu traites chaque morceau séparément.
- 2. Reconnaître la forme : est-ce une fonction usuelle du tableau, ou une forme composée ($u'\,e^u$, $\dfrac{u'}{u}$, $u'\,u^n$) ?
- 3. Ajuster le coefficient : si le $u'$ n'est pas complet, multiplie par la constante qui corrige (puis vérifie en dérivant).
- 4. Ajouter $+ C$, sauf si une condition est donnée.
💡 L'Astuce d'Inès
Le meilleur réflexe de contrôle, c'est de dériver ta réponse. Tu viens de trouver $F$ ? Dérive-la mentalement : si tu retombes sur $f$, c'est juste, sinon tu repères tout de suite le coefficient mal ajusté. Cette vérification de dix secondes t'évite de perdre des points bêtement sur tout le reste de l'exercice.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier le « $+ C$ ». Quand on demande l'ensemble des primitives, il faut écrire $F(x) + C$. Sans la constante, ta réponse est incomplète.
2. Mal ajuster le coefficient. Une primitive de $e^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, pas $e^{2x}$. Une primitive de $\cos(3x)$ est $\dfrac{1}{3}\sin(3x)$, pas $\sin(3x)$. Dérive pour vérifier.
3. Confondre dérivée et primitive. Ce sont deux opérations inverses. Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln(x)$, alors que la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$. Ne mélange pas les deux sens.
4. Appliquer $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ à $\dfrac{1}{x}$. Pour $n = -1$, la formule donne une division par zéro : elle ne s'applique pas. La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln(x)$, un cas à part.
Exercices corrigés
Maths Exercice 1 : vérifier une primitive
On considère $f(x) = 2x + 1$ et $F(x) = x^2 + x + 5$. Montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Il suffit de dériver $F$ et de vérifier qu'on retombe sur $f$. On a $F'(x) = 2x + 1 + 0 = 2x + 1 = f(x)$. Comme $F'(x) = f(x)$ pour tout réel $x$, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Compétence évaluée : utiliser la définition $F' = f$ pour vérifier une primitive.
Maths Exercice 2 : primitive d'un polynôme
Détermine une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$.
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On primitive terme à terme avec $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Pour $3x^2$ : $3 \times \dfrac{x^3}{3} = x^3$. Pour $-4x$ : $-4 \times \dfrac{x^2}{2} = -2x^2$. Pour $5$ : $5x$. Donc $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$ (à une constante près). On vérifie : $F'(x) = 3x^2 - 4x + 5$.
Compétence évaluée : primitiver un polynôme terme à terme.
Maths Exercice 3 : forme u'e^u
Détermine une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
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On reconnaît la forme $u'\,e^u$ avec $u = x^2$, donc $u' = 2x$. Comme le facteur $2x$ est exactement présent, une primitive est $F(x) = e^{x^2}$. Vérification : $\left(e^{x^2}\right)' = 2x\,e^{x^2} = f(x)$.
Compétence évaluée : reconnaître $u'\,e^u$ et primitiver en $e^u$.
Maths Exercice 4 : forme u'/u
Détermine une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.
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On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$, donc $u' = 2x$. Comme $u = x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, une primitive est $F(x) = \ln(x^2 + 1)$. Vérification : $\left(\ln(x^2+1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2+1} = f(x)$.
Compétence évaluée : reconnaître $\dfrac{u'}{u}$ et primitiver en $\ln(u)$.
Maths Exercice 5 : la primitive qui vérifie une condition
Détermine la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0) = 3$.
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On écrit d'abord l'ensemble des primitives : $F(x) = x^2 + x + C$. On utilise ensuite la condition pour trouver $C$ : $F(0) = 0^2 + 0 + C = C$, et on veut $F(0) = 3$, donc $C = 3$. La primitive cherchée est $F(x) = x^2 + x + 3$.
Compétence évaluée : déterminer la constante $C$ à partir d'une condition.
Maths Exercice 6 : repérer l'erreur de coefficient
Un élève affirme qu'une primitive de $f(x) = \cos(3x)$ est $F(x) = \sin(3x)$. Repère son erreur et donne la bonne primitive.
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On vérifie en dérivant la réponse de l'élève : $\left(\sin(3x)\right)' = 3\cos(3x)$, et non $\cos(3x)$. Il y a un facteur $3$ en trop. Pour le corriger, on divise par $3$ : la bonne primitive est $F(x) = \dfrac{1}{3}\sin(3x)$. Vérification : $\left(\dfrac{1}{3}\sin(3x)\right)' = \dfrac{1}{3} \times 3\cos(3x) = \cos(3x)$.
Compétence évaluée : ajuster le coefficient d'une forme composée.
La fiche récap : tout l'essentiel
L'essentiel des primitives
- Définition : $F$ est une primitive de $f$ si $F'(x) = f(x)$.
- Constante : toutes les primitives sont $F(x) + C$ (ne jamais oublier le $+ C$).
- Existence : toute fonction continue sur $I$ admet des primitives.
- Usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, $\;\dfrac{1}{x} \to \ln(x)$, $\;e^x \to e^x$, $\;\cos \to \sin$, $\;\sin \to -\cos$.
- Formes composées : $u'\,e^u \to e^u$, $\;\dfrac{u'}{u} \to \ln(u)$, $\;u'\,u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
- Méthode : découper, reconnaître la forme, ajuster le coefficient, ajouter $+ C$.
- Intégrale : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
- Contrôle : dériver $F$ doit redonner $f$.
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Mes fiches de révision Spé Maths Bac couvrent tout le programme, primitives et calcul intégral compris, avec les tableaux, les méthodes et les pièges à connaître. Tout ce qu'il te faut pour réviser vite et juste avant l'épreuve.
Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur les primitives
Qu'est-ce qu'une primitive ?
Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$, c'est-à-dire telle que $F'(x) = f(x)$. C'est l'opération inverse de la dérivation : on remonte de $f$ vers $F$.
Comment calculer une primitive ?
On découpe la fonction en somme, on reconnaît chaque morceau (fonction usuelle du tableau ou forme composée comme $u'\,e^u$ ou $\dfrac{u'}{u}$), on ajuste le coefficient si besoin, puis on ajoute la constante $+ C$. Pour vérifier, on dérive le résultat : on doit retomber sur la fonction de départ.
Quelle est la primitive de e^x, de 1/x et de cos(x) ?
Une primitive de $e^x$ est $e^x$ (elle est sa propre primitive). Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$, et une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$.
Pourquoi ajoute-t-on une constante + C ?
Parce que la dérivée d'une constante est nulle : $x^2$, $x^2 + 1$ et $x^2 - 7$ ont toutes la même dérivée $2x$. Une fonction a donc une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante. On écrit l'ensemble sous la forme $F(x) + C$.
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
Une primitive est une fonction ($F$ telle que $F' = f$). Une intégrale est un nombre, qui représente une aire. Les deux sont reliés par le théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Comment trouver la primitive qui vérifie une condition ?
On écrit d'abord l'ensemble des primitives $F(x) + C$, puis on utilise la condition donnée (par exemple $F(0) = 3$) pour déterminer la valeur de $C$. Il y a alors une seule primitive qui convient.
En quelle classe étudie-t-on les primitives ?
Les primitives sont au programme de Terminale spé maths, juste avant le calcul intégral. Elles s'appuient sur les dérivées vues en Première et en Terminale, et servent ensuite à calculer des aires et à résoudre des équations différentielles.