Partager
Une équation, c'est une égalité dans laquelle se cache un nombre inconnu, presque toujours noté $x$. Résoudre l'équation, c'est retrouver ce nombre mystère. En 3ème, deux grands types reviennent au Brevet : l'équation du premier degré (comme $3x + 5 = 20$) et l'équation produit nul (comme $(x - 2)(x + 7) = 0$).
C'est l'un des chapitres les plus rentables de l'épreuve : la méthode est toujours la même, et une fois qu'on la tient, on prend les points à coup sûr. Ici on va voir le vocabulaire, les deux règles qui permettent de tout résoudre, la méthode pas à pas, l'équation produit nul, la mise en équation d'un problème, et des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Une équation est une égalité contenant une inconnue $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions. Pour y arriver, on a le droit de faire deux choses des deux côtés du signe $=$ : ajouter (ou soustraire) un même nombre, et multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul.
Une équation, c'est quoi exactement ?
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, l'inconnue, presque toujours notée $x$. Par exemple, $2x + 1 = 7$ est une équation. Le but est de trouver la valeur de $x$ qui rend cette égalité vraie.
Cette valeur s'appelle une solution de l'équation. Ici, $x = 3$ est solution, car $2 \times 3 + 1 = 7$. Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions. Certaines équations ont une seule solution, d'autres en ont deux (c'est le cas des équations produit nul), et de rares équations n'en ont aucune.
💡 L'Astuce d'Inès
Pense à une équation comme à une balance en équilibre : le signe $=$ est le point d'équilibre. Tant que tu fais exactement la même chose des deux côtés, la balance reste équilibrée. C'est tout le secret : ce que tu fais à gauche, tu le fais aussi à droite.
Les deux règles pour résoudre une équation
Pour isoler $x$, on n'a besoin que de deux règles, et elles conservent toujours l'égalité.
Règle 1 : on peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés du signe $=$. Cela sert à faire passer les nombres d'un côté. Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul. Cela sert à se débarrasser du coefficient devant $x$.
Avec ces deux gestes, on « déshabille » peu à peu le $x$ jusqu'à l'avoir tout seul d'un côté. C'est exactement ce qu'on fait dans la méthode qui suit.
Résoudre une équation du premier degré
Une équation du premier degré est une équation où $x$ apparaît à la puissance $1$ (pas de $x^2$). La méthode est toujours la même : on regroupe les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
Cas simple : ax + b = c
Résolvons $3x + 5 = 20$. On soustrait $5$ des deux côtés : $3x = 15$. On divise les deux côtés par $3$ : $x = 5$. La solution est $5$. On peut vérifier : $3 \times 5 + 5 = 20$. C'est correct.
Avec des x des deux côtés
Quand l'inconnue apparaît à gauche et à droite, on commence par tout regrouper. Résolvons $5x - 3 = 2x + 9$. On soustrait $2x$ des deux côtés : $3x - 3 = 9$. On ajoute $3$ : $3x = 12$. On divise par $3$ : $x = 4$. La solution est $4$.
Les deux types d'équations du programme
| Type | Forme | Méthode |
|---|---|---|
| Premier degré | $ax + b = c$ | regrouper les $x$, isoler, diviser |
| Produit nul | $A \times B = 0$ | un facteur au moins est nul |
Tu veux réviser tout le programme du Brevet sans recopier le cours ?
Mon Pack Brevet Complet rassemble Maths, Physique-Chimie et SVT en fiches claires : chaque chapitre tient sur une page, avec les définitions, les méthodes et les pièges à éviter. De quoi réviser efficace, sans perdre de temps.
Voir le Pack Brevet Complet ›L'équation produit nul
L'équation produit nul repose sur une règle très puissante : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
Exemple : résoudre $(x - 2)(x + 7) = 0$. Le produit est nul, donc l'un des deux facteurs est nul. Soit $x - 2 = 0$, ce qui donne $x = 2$. Soit $x + 7 = 0$, ce qui donne $x = -7$. L'équation a donc deux solutions : $2$ et $-7$.
Souvent, l'équation n'est pas donnée directement sous forme de produit : il faut d'abord factoriser. Par exemple, pour $x^2 - 9 = 0$, on reconnaît une différence de deux carrés : $(x - 3)(x + 3) = 0$, d'où $x = 3$ ou $x = -3$. Si la factorisation te semble floue, revois ma fiche sur le calcul littéral en 3ème.
Mettre un problème en équation
Au Brevet, on te demande souvent de résoudre un problème « en français » : c'est la mise en équation. La méthode tient en quatre étapes, toujours les mêmes.
1. Choisir l'inconnue : on note $x$ la quantité cherchée (« Soit $x$ le nombre cherché »). 2. Traduire l'énoncé : on écrit l'égalité qui correspond à la situation. 3. Résoudre l'équation obtenue. 4. Conclure par une phrase qui répond à la question posée.
Exemple : « Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ puis j'ajoute $4$ : j'obtiens $19$. » On pose $x$ le nombre cherché, on traduit par $3x + 4 = 19$, on résout ($3x = 15$, donc $x = 5$), et on conclut : le nombre cherché est $5$. La mise en équation est un grand classique du Brevet : pour réviser toute l'épreuve, garde sous la main mon guide de révision du brevet de maths.
💡 L'Astuce d'Inès
Ne saute jamais l'étape « Soit $x$... » : définir clairement l'inconnue rapporte des points au Brevet, et t'évite de t'emmêler. Et termine toujours par une phrase de conclusion : le correcteur veut voir que tu réponds bien à la question posée, pas seulement la valeur de $x$.
Vérifier sa solution
La vérification est le réflexe qui te sauve le jour du Brevet. Une fois la solution trouvée, on la remplace dans l'équation de départ pour contrôler que l'égalité est bien vraie.
Reprenons $5x - 3 = 2x + 9$ avec $x = 4$. À gauche : $5 \times 4 - 3 = 17$. À droite : $2 \times 4 + 9 = 17$. Les deux côtés donnent $17$ : la solution est juste. Si les deux côtés ne donnaient pas le même résultat, ce serait le signe d'une erreur de calcul à reprendre.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Ne faire l'opération que d'un seul côté. Si tu soustrais $5$ à gauche, tu dois aussi le soustraire à droite. Oublier un côté casse l'égalité et fausse tout le reste.
2. Se tromper de signe en faisant « passer » un terme. Un terme qui change de côté change de signe : dans $3x + 5 = 20$, le $+5$ devient $-5$ à droite ($3x = 20 - 5$). Garde bien la trace des signes.
3. Diviser trop tôt ou oublier la seconde solution. Pour une équation produit nul, n'oublie jamais qu'il y a en général deux solutions : pense à traiter chaque facteur.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : équation du premier degré
Résous l'équation $4x + 7 = 31$.
Voir le corrigé
On soustrait $7$ des deux côtés : $4x = 24$. On divise par $4$ : $x = 6$. La solution est $6$. Vérification : $4 \times 6 + 7 = 31$.
Compétence évaluée : résoudre une équation du premier degré.
Maths Exercice 2 : inconnue des deux côtés
Résous l'équation $7x - 2 = 3x + 14$.
Voir le corrigé
On soustrait $3x$ des deux côtés : $4x - 2 = 14$. On ajoute $2$ : $4x = 16$. On divise par $4$ : $x = 4$. La solution est $4$.
Compétence évaluée : regrouper les termes puis résoudre.
Maths Exercice 3 : équation produit nul
Résous l'équation $(x - 5)(x + 2) = 0$.
Voir le corrigé
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. Soit $x - 5 = 0$, donc $x = 5$. Soit $x + 2 = 0$, donc $x = -2$. L'équation a deux solutions : $5$ et $-2$.
Compétence évaluée : appliquer la règle du produit nul.
Maths Exercice 4 : factoriser puis résoudre
Résous l'équation $x^2 - 49 = 0$.
Voir le corrigé
On factorise la différence de deux carrés : $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$. L'équation devient $(x - 7)(x + 7) = 0$, d'où $x = 7$ ou $x = -7$. Les deux solutions sont $7$ et $-7$.
Compétence évaluée : factoriser pour se ramener à un produit nul.
Maths Exercice 5 : mise en équation
Je pense à un nombre, je le multiplie par $5$ et je retire $8$ : j'obtiens $37$. Quel est ce nombre ?
Voir le corrigé
Soit $x$ le nombre cherché. On traduit l'énoncé : $5x - 8 = 37$. On résout : $5x = 45$, donc $x = 9$. Le nombre cherché est $9$.
Compétence évaluée : mettre un problème en équation.
Maths Exercice 6 : problème de géométrie
Un rectangle a une largeur de $x$ cm et une longueur de $x + 3$ cm. Son périmètre mesure $26$ cm. Détermine $x$, puis les dimensions du rectangle.
Voir le corrigé
Le périmètre est $2 \times (\text{largeur} + \text{longueur})$, soit $2\,(x + x + 3) = 26$. On développe : $2\,(2x + 3) = 26$, donc $4x + 6 = 26$. On résout : $4x = 20$, donc $x = 5$. La largeur est $5$ cm et la longueur $5 + 3 = 8$ cm.
Compétence évaluée : modéliser un problème géométrique par une équation.
La fiche récap : tout sur les équations
L'essentiel des équations en 3ème
- Équation : une égalité avec une inconnue $x$ ; la résoudre, c'est trouver les solutions.
- Règle d'or : ce qu'on fait d'un côté du $=$, on le fait de l'autre.
- Premier degré : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis diviser par le coefficient.
- Produit nul : si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$ (souvent deux solutions).
- Mise en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure par une phrase.
- Vérifier : remplacer la solution dans l'équation de départ.
Prêt(e) à assurer le jour du Brevet ?
Avec mon Pack Brevet Complet (Maths, Physique-Chimie, SVT), tu t'entraînes sur des fiches pensées pour l'examen : méthodes pas à pas, pièges classiques et exercices type Brevet. Tout pour arriver serein le jour J.
Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur les équations
C'est quoi une équation ?
Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, noté $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
Comment résoudre une équation du premier degré ?
On regroupe les termes en $x$ d'un côté du signe égal et les nombres de l'autre, en faisant la même opération des deux côtés, puis on divise par le coefficient de $x$. Par exemple, $3x + 5 = 20$ donne $3x = 15$, puis $x = 5$.
C'est quoi l'équation produit nul ?
C'est une équation de la forme $A \times B = 0$. Un produit est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc $A = 0$ puis $B = 0$, ce qui donne en général deux solutions.
Comment mettre un problème en équation ?
On choisit l'inconnue (Soit $x$ la quantité cherchée), on traduit l'énoncé par une égalité, on résout l'équation, puis on conclut par une phrase qui répond à la question posée.
Comment vérifier la solution d'une équation ?
On remplace la valeur trouvée dans l'équation de départ et on calcule chaque côté. Si les deux côtés donnent le même résultat, la solution est correcte.
Les équations tombent-elles au Brevet ?
Oui, presque chaque année. On demande de résoudre une équation du premier degré, une équation produit nul, ou de mettre un problème en équation. Ce sont des points faciles à prendre quand la méthode est maîtrisée.