La trigonométrie en 3ème, c'est l'outil qui permet de calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle, à partir de trois formules : le cosinus, le sinus et la tangente. On les résume souvent par le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA.
C'est un chapitre qui fait peur au début, surtout à cause du vocabulaire, mais une fois la méthode en place, tu prends des points faciles au Brevet. La trigonométrie y tombe régulièrement, parfois couplée au théorème de Pythagore. Ici on voit le vocabulaire à connaître, les trois formules, comment choisir la bonne, et comment calculer une longueur comme un angle, le tout avec des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. Le moyen de retenir : SOH-CAH-TOA (Sinus Opposé Hypoténuse, Cosinus Adjacent Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent).
La trigonométrie en 3ème, c'est quoi ?
La trigonométrie, c'est l'étude des liens entre les angles et les longueurs dans un triangle rectangle. Concrètement, en 3ème, elle sert à deux choses : calculer une longueur quand on connaît un angle et un côté, ou calculer un angle quand on connaît deux côtés.
Comme le théorème de Pythagore, elle ne fonctionne que dans un triangle rectangle. La différence, c'est que Pythagore relie les trois côtés entre eux, alors que la trigonométrie fait intervenir un angle aigu (un angle autre que l'angle droit). On reste toujours sur des angles mesurés en degrés, et on s'appuie beaucoup sur la calculatrice.
Le vocabulaire : adjacent, opposé, hypoténuse
C'est l'étape qui fait perdre le plus de points, alors on prend le temps. Les noms des côtés dépendent de l'angle aigu que l'on regarde. Plaçons-nous du point de vue d'un angle aigu, appelons-le $\widehat{A}$.
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long). Elle ne change jamais, quel que soit l'angle aigu choisi.
- Le côté adjacent à $\widehat{A}$ est le côté qui touche l'angle $\widehat{A}$ (et qui n'est pas l'hypoténuse).
- Le côté opposé à $\widehat{A}$ est le côté qui lui fait face (qui ne touche pas l'angle).
💡 L'Astuce d'Inès
Pour ne plus confondre : adjacent veut dire « à côté », donc c'est le côté collé à l'angle. Opposé, c'est celui qui est en face. Et l'hypoténuse, tu la repères en premier (face à l'angle droit), elle est toujours la même. Repère l'angle, puis nomme les deux autres côtés par rapport à lui.
Les 3 formules : cosinus, sinus, tangente
Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle, les trois rapports trigonométriques se définissent ainsi. C'est le tableau à connaître par cœur.
Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu
| Formule | Rapport | Mémo |
|---|---|---|
| $\cos(\widehat{A})$ | $\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ | CAH |
| $\sin(\widehat{A})$ | $\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ | SOH |
| $\tan(\widehat{A})$ | $\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$ | TOA |
Le mot magique SOH-CAH-TOA reprend les trois lignes dans l'ordre : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Apprends-le, il te sauvera le jour J.
Comment choisir la bonne formule ?
La bonne formule dépend des côtés en jeu : ceux que tu connais et celui que tu cherches. La méthode tient en deux temps : repère les côtés concernés par rapport à l'angle, puis choisis la formule qui relie exactement ces côtés.
Si l'hypoténuse et l'adjacent interviennent, c'est le cosinus. Si c'est l'hypoténuse et l'opposé, c'est le sinus. Et si ce sont l'opposé et l'adjacent (sans l'hypoténuse), c'est la tangente. SOH-CAH-TOA te donne directement la réponse une fois que tu sais quels côtés sont en jeu.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Calculer une longueur avec la trigonométrie
On connaît un angle aigu et un côté, et on cherche un autre côté. La méthode pas à pas :
- Repère l'angle donné et nomme les côtés (adjacent, opposé, hypoténuse) par rapport à lui.
- Choisis la formule qui relie le côté connu et le côté cherché (cos, sin ou tan).
- Remplace, puis isole la longueur cherchée et termine à la calculatrice.
Exemple : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, l'angle $\widehat{A}$ mesure $50°$ et l'hypoténuse $[AC]$ mesure $7$ cm. On cherche $AB$, le côté adjacent à $\widehat{A}$. On relie adjacent et hypoténuse, donc on utilise le cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$. On isole : $AB = AC \times \cos(50°) = 7 \times \cos(50°) \approx 4{,}5$ cm.
Calculer un angle avec la trigonométrie
Cette fois, on connaît deux côtés et on cherche un angle. On calcule d'abord le rapport (cos, sin ou tan), puis on « remonte » à l'angle avec les touches inverses de la calculatrice.
Exemple : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 4$ cm (adjacent à $\widehat{A}$) et $AC = 5$ cm (l'hypoténuse). On cherche l'angle $\widehat{A}$. On relie adjacent et hypoténuse, donc cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. On utilise alors la touche $\cos^{-1}$ (souvent au-dessus de la touche cos, via la touche « 2nde » ou « shift ») : $\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9°$.
💡 L'Astuce d'Inès
Avant tout calcul d'angle, vérifie que ta calculatrice est bien en mode degré (affichage « DEG » ou « D », pas « RAD »). C'est l'erreur la plus sournoise : en mode radian, tu obtiens un résultat faux sans t'en rendre compte. Les touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ servent uniquement à retrouver un angle à partir d'un rapport.
Le lien avec le théorème de Pythagore
Au Brevet, trigonométrie et Pythagore sont souvent dans le même exercice. La règle pour les distinguer est simple : si tu travailles avec un angle, c'est la trigonométrie ; si tu n'as que des longueurs (les trois côtés), c'est Pythagore. Il arrive qu'on calcule d'abord un côté avec Pythagore, puis un angle avec la trigonométrie. Pour revoir cette méthode, va voir mon cours sur le théorème de Pythagore, et pour l'ensemble de l'épreuve, mon guide de révision du brevet de maths.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Confondre adjacent et opposé. Tout dépend de l'angle que tu regardes : l'adjacent touche l'angle, l'opposé lui fait face. Repère l'angle avant de nommer les côtés.
2. La calculatrice en radians. En 3ème, on travaille en degrés. Si l'affichage indique « RAD », repasse en « DEG », sinon tous tes angles seront faux.
3. Mélanger formule directe et touche inverse. On utilise $\cos$, $\sin$, $\tan$ pour trouver une longueur, et $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ pour trouver un angle. Pense aussi à arrondir proprement (souvent au dixième de degré).
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : nommer les côtés
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. En te plaçant du point de vue de l'angle $\widehat{A}$, nomme l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé.
Voir le corrigé
L'angle droit est en $B$, donc l'hypoténuse est $[AC]$ (le côté opposé à l'angle droit). Pour l'angle $\widehat{A}$ : le côté adjacent est $[AB]$ (il touche $\widehat{A}$), et le côté opposé est $[BC]$ (il fait face à $\widehat{A}$).
Compétence évaluée : identifier les côtés par rapport à un angle.
Maths Exercice 2 : calculer une longueur (cosinus)
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle $\widehat{A}$ mesure $50°$ et $AC = 7$ cm. Calcule $AB$ (arrondi au dixième).
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Pour l'angle $\widehat{A}$, $AB$ est le côté adjacent et $AC$ l'hypoténuse. On relie adjacent et hypoténuse, donc cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$. Donc $AB = AC \times \cos(50°) = 7 \times \cos(50°) \approx 4{,}5$ cm.
Compétence évaluée : calculer une longueur avec le cosinus.
Maths Exercice 3 : calculer une longueur (tangente)
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle $\widehat{A}$ mesure $35°$ et le côté adjacent $AB = 6$ cm. Calcule $BC$ (arrondi au dixième).
Voir le corrigé
Pour l'angle $\widehat{A}$, $BC$ est le côté opposé et $AB$ le côté adjacent. On relie opposé et adjacent, donc tangente : $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB}$. Donc $BC = AB \times \tan(35°) = 6 \times \tan(35°) \approx 4{,}2$ cm.
Compétence évaluée : calculer une longueur avec la tangente.
Maths Exercice 4 : calculer un angle
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 4$ cm et $AC = 5$ cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{A}$ (arrondi au dixième de degré).
Voir le corrigé
Pour l'angle $\widehat{A}$, $AB$ est le côté adjacent et $AC$ l'hypoténuse, donc on utilise le cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. On remonte à l'angle avec la touche inverse : $\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9°$.
Compétence évaluée : calculer un angle avec la touche inverse $\cos^{-1}$.
Maths Exercice 5 : problème concret (l'échelle)
Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de $70°$ avec le sol horizontal. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur (arrondi au dixième) ?
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Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle (angle droit au pied du mur). L'échelle est l'hypoténuse ($4$ m) et la hauteur cherchée est le côté opposé à l'angle de $70°$. On relie opposé et hypoténuse, donc sinus : $\sin(70°) = \dfrac{\text{hauteur}}{4}$. Donc hauteur $= 4 \times \sin(70°) \approx 3{,}8$ m.
Compétence évaluée : modéliser un problème concret par un triangle rectangle et appliquer le sinus.
La fiche récap : toute la trigonométrie en un coup d'œil
L'essentiel de la trigonométrie en 3ème
- Cadre : uniquement dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, en degrés.
- Cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ (CAH).
- Sinus : $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ (SOH).
- Tangente : $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ (TOA).
- Calculer une longueur : choisis la formule selon les côtés, remplace, isole.
- Calculer un angle : calcule le rapport, puis utilise $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$.
- Réflexe : calculatrice en mode degré, et repère l'angle avant de nommer les côtés.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur la trigonométrie en 3ème
Quelles sont les 3 formules de trigonométrie en 3ème ?
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : le cosinus est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse, le sinus est le côté opposé divisé par l'hypoténuse, et la tangente est le côté opposé divisé par le côté adjacent. On les retient avec SOH-CAH-TOA.
Que veut dire SOH-CAH-TOA ?
C'est un moyen mnémotechnique pour retenir les trois formules : Sinus = Opposé sur Hypoténuse (SOH), Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse (CAH), Tangente = Opposé sur Adjacent (TOA).
Comment calculer un angle avec la trigonométrie ?
On calcule d'abord le rapport entre les deux côtés connus (par exemple adjacent sur hypoténuse pour le cosinus), puis on utilise la touche inverse de la calculatrice, $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$, pour retrouver la mesure de l'angle. La calculatrice doit être en mode degré.
Comment savoir quel côté est adjacent ou opposé ?
Tout dépend de l'angle aigu que l'on regarde. Le côté adjacent est celui qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse), et le côté opposé est celui qui lui fait face. L'hypoténuse, elle, est toujours le côté opposé à l'angle droit.
Comment choisir entre cosinus, sinus et tangente ?
On regarde les côtés en jeu. Hypoténuse et adjacent : cosinus. Hypoténuse et opposé : sinus. Opposé et adjacent (sans l'hypoténuse) : tangente. SOH-CAH-TOA donne directement la formule selon les côtés concernés.
La trigonométrie tombe-t-elle au Brevet ?
Oui, régulièrement. On demande de calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle, parfois dans un problème concret (échelle, rampe, toit) ou en lien avec le théorème de Pythagore. Ce sont des points accessibles quand la méthode est maîtrisée.