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Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres : ces lettres représentent des nombres, et tu apprends à transformer les expressions sans jamais changer leur valeur. En 3ème, trois gestes reviennent tout le temps : réduire, développer et factoriser.
Ça paraît abstrait dit comme ça, mais c'est en réalité une grosse partie des points faciles du Brevet. Le calcul littéral tombe presque chaque année, seul ou caché dans un exercice d'équation ou de géométrie. Ici on va voir ce que veut dire chaque mot, la méthode pour ne pas se tromper, les fameuses identités remarquables, et des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Le calcul littéral, c'est manipuler des expressions qui contiennent des lettres (comme $x$). Trois actions à maîtriser : réduire (simplifier), développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit). Développer et factoriser sont deux opérations inverses l'une de l'autre.
Le calcul littéral, c'est quoi exactement ?
Le calcul littéral, c'est faire des calculs avec des lettres à la place de certains nombres. Une lettre comme $x$ désigne un nombre que l'on ne connaît pas encore, ou qui peut varier. Une expression littérale est alors un calcul écrit avec des lettres et des nombres, par exemple $3x + 5$ ou $(x + 2)(x - 1)$.
À quoi ça sert ? À écrire des formules générales (l'aire, le périmètre, une réduction de prix), à démontrer qu'un résultat est toujours vrai, et surtout à résoudre des équations. C'est l'outil de base de toutes les maths du lycée, donc autant le maîtriser dès la 3ème. La bonne nouvelle : tout repose sur quelques règles simples que l'on va voir une par une.
Petit point de vocabulaire avant de commencer. Dans l'expression $3x + 5$, on dit que $3x$ et $5$ sont les deux termes (ils sont séparés par un signe $+$ ou $-$). Dans le terme $3x$, le nombre $3$ s'appelle le coefficient. Quand deux termes ont la même partie en lettre (par exemple $3x$ et $7x$), on dit qu'ils sont semblables : ce sont eux que l'on pourra regrouper.
Réduire une expression littérale
Réduire une expression, c'est l'écrire le plus simplement possible en regroupant les termes semblables. On additionne entre eux les termes en $x$, et séparément les nombres tout seuls.
Prenons l'expression $3x + 5 - x + 2$. On regroupe d'un côté les termes en $x$ : $3x - x = 2x$. De l'autre, les nombres : $5 + 2 = 7$. L'expression réduite est donc $2x + 7$. C'est tout : on n'a rien changé à sa valeur, on l'a juste écrite plus court.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour ne rien oublier, surligne mentalement les termes en $x$ d'une couleur et les nombres seuls d'une autre. Attention au signe qui est devant chaque terme : dans $3x + 5 - x + 2$, le terme c'est bien $-x$ (avec son moins), pas $x$. Garde toujours le signe collé au terme qui le suit.
Développer : transformer un produit en somme
Développer une expression, c'est enlever les parenthèses en effectuant les multiplications. On passe d'un produit (une multiplication) à une somme (une suite d'additions et de soustractions). Il y a deux cas à connaître.
La distributivité simple
C'est la règle $k(a + b) = ka + kb$ : on multiplie le nombre de devant par chaque terme de la parenthèse. Par exemple :
$$4(2x + 3) = 4 \times 2x + 4 \times 3 = 8x + 12$$
L'erreur classique est de multiplier seulement le premier terme. Le $4$ doit toucher le $2x$ et le $3$.
La double distributivité
Quand il y a deux parenthèses, on applique $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Exemple :
$$(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$$
On obtient quatre produits, puis on réduit les termes semblables ($-5x + 3x = -2x$). Avance dans l'ordre, de gauche à droite, pour n'oublier aucun produit.
Les 3 identités remarquables à connaître par cœur
Les identités remarquables sont trois résultats de développement qui reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur. Les reconnaître te fait gagner un temps fou, à la fois pour développer et pour factoriser. Voici le tableau à graver dans ta mémoire.
Les 3 identités remarquables du programme
| Forme factorisée | Forme développée | Exemple |
|---|---|---|
| $(a + b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ | $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ |
| $(a - b)^2$ | $a^2 - 2ab + b^2$ | $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ |
| $(a + b)(a - b)$ | $a^2 - b^2$ | $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ |
Le terme du milieu, $2ab$, s'appelle le double produit : c'est lui qu'on oublie le plus souvent. Remarque aussi que dans $(a - b)^2$, seul le double produit change de signe : le dernier terme reste $+b^2$ (un carré est toujours positif).
📌 À Retenir
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ · $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ · $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Lues de gauche à droite, elles servent à développer ; lues de droite à gauche, elles servent à factoriser.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Factoriser : transformer une somme en produit
Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on part d'une somme et on la réécrit sous forme de produit, c'est-à-dire avec des parenthèses. C'est souvent l'étape clé pour résoudre une équation. Deux méthodes au programme de 3ème.
Avec un facteur commun
Quand tous les termes contiennent le même facteur, on le met « en facteur » devant une parenthèse. Exemple :
$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$
Ici, $3x$ est commun aux deux termes ($6x^2 = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$). On le sort, et on écrit dans la parenthèse ce qui reste. Pour vérifier, il suffit de redévelopper : $3x \times 2x + 3x \times 3 = 6x^2 + 9x$. On retombe bien sur le départ.
Avec une identité remarquable
Quand on reconnaît une forme développée du tableau, on l'écrit directement sous forme factorisée. Le cas le plus fréquent au Brevet est la différence de deux carrés $a^2 - b^2$ :
$$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$$
De la même façon, $x^2 + 6x + 9$ se reconnaît comme $(x + 3)^2$. L'entraînement est ce qui rend ces reconnaissances automatiques.
💡 L'Astuce d'Inès
Avant tout, cherche toujours un facteur commun en premier : c'est la factorisation la plus simple. Si tu n'en trouves pas, demande-toi alors si l'expression ressemble à une identité remarquable (surtout une différence de deux carrés, du type « quelque chose au carré moins quelque chose au carré »).
Développer ou factoriser : comment choisir ?
C'est la question qui revient le plus, et la réponse tient en une phrase. Développer transforme un produit en somme (on enlève les parenthèses) ; factoriser transforme une somme en produit (on fait apparaître des parenthèses). Ce sont deux chemins opposés.
Comment savoir lequel utiliser le jour J ? Lis la consigne. Si l'énoncé dit « développer et réduire », tu enlèves les parenthèses. S'il dit « factoriser », tu fais apparaître un produit. Et s'il dit « résoudre l'équation », il faudra presque toujours factoriser d'abord, pour te ramener à un produit égal à zéro. C'est justement ce qu'on voit tout de suite.
Résoudre une équation grâce à la factorisation
La factorisation sert beaucoup à résoudre des équations, grâce à une règle très simple : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul. On appelle ça l'équation produit nul.
Exemple : résoudre $x^2 - 16 = 0$. On factorise d'abord le membre de gauche, c'est une différence de carrés : $(x - 4)(x + 4) = 0$. Le produit est nul, donc l'un des facteurs est nul : soit $x - 4 = 0$, soit $x + 4 = 0$. On en déduit les deux solutions $x = 4$ et $x = -4$. Sans la factorisation, on ne saurait pas démarrer : c'est elle qui débloque l'équation. Ce réflexe ressert dans tout le programme : pour réviser l'ensemble de l'épreuve, suis mon guide de révision du brevet de maths.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier le double produit. $(a + b)^2$ n'est pas $a^2 + b^2$ : il manque le terme $2ab$. C'est l'erreur n°1 du chapitre. La bonne formule est $a^2 + 2ab + b^2$.
2. Se tromper de signe dans $(a - b)^2$. Le résultat est $a^2 - 2ab + b^2$ : seul le double produit devient négatif, le dernier terme reste $+b^2$. Écrire $a^2 - b^2$ est faux.
3. Distribuer (ou factoriser) à moitié. Dans $4(2x + 3)$, le $4$ doit multiplier le $2x$ ET le $3$. Et quand tu mets un facteur commun, vérifie en redéveloppant que tu retombes bien sur l'expression de départ.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : réduire une expression
Réduis l'expression $A = 5x + 8 - 2x - 3$.
Voir le corrigé
On regroupe les termes en $x$ : $5x - 2x = 3x$. Puis les nombres seuls : $8 - 3 = 5$. Donc $A = 3x + 5$.
Compétence évaluée : regrouper les termes semblables.
Maths Exercice 2 : développer (distributivité simple)
Développe et réduis $B = 4(2x + 3) - 5$.
Voir le corrigé
On développe d'abord : $4(2x + 3) = 8x + 12$. L'expression devient $B = 8x + 12 - 5$. On réduit : $12 - 5 = 7$. Donc $B = 8x + 7$.
Compétence évaluée : appliquer la distributivité simple puis réduire.
Maths Exercice 3 : développer (double distributivité)
Développe et réduis $C = (x + 3)(x - 5)$.
Voir le corrigé
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : $C = x \times x + x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) = x^2 - 5x + 3x - 15$. On réduit les termes semblables : $-5x + 3x = -2x$. Donc $C = x^2 - 2x - 15$.
Compétence évaluée : appliquer la double distributivité.
Maths Exercice 4 : utiliser une identité remarquable
Développe $D = (x + 4)^2$ à l'aide d'une identité remarquable.
Voir le corrigé
On utilise $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$. On a $a^2 = x^2$, le double produit $2ab = 2 \times x \times 4 = 8x$, et $b^2 = 16$. Donc $D = x^2 + 8x + 16$. On n'oublie pas le double produit $8x$.
Compétence évaluée : reconnaître et appliquer $(a+b)^2$.
Maths Exercice 5 : factoriser (facteur commun)
Factorise $E = 6x^2 + 9x$.
Voir le corrigé
Les deux termes contiennent le facteur commun $3x$ : en effet $6x^2 = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$. On met $3x$ en facteur : $E = 3x(2x + 3)$. Vérification en développant : $3x \times 2x + 3x \times 3 = 6x^2 + 9x$.
Compétence évaluée : factoriser par un facteur commun.
Maths Exercice 6 : factoriser puis résoudre
Factorise $F = x^2 - 16$, puis résous l'équation $x^2 - 16 = 0$.
Voir le corrigé
On reconnaît une différence de deux carrés : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$. Pour résoudre $(x - 4)(x + 4) = 0$, on utilise la règle du produit nul : un facteur au moins est nul. Soit $x - 4 = 0$, soit $x + 4 = 0$, donc $x = 4$ ou $x = -4$. L'équation a deux solutions : $4$ et $-4$.
Compétence évaluée : factoriser avec une identité puis résoudre une équation produit nul.
La fiche récap : tout le calcul littéral en un coup d'œil
L'essentiel du calcul littéral
- Réduire : regrouper les termes semblables (les $x$ ensemble, les nombres ensemble).
- Développer simple : $k(a + b) = ka + kb$.
- Développer double : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
- Identités : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
- Factoriser : chercher un facteur commun, sinon reconnaître une identité (souvent $a^2 - b^2$).
- Équation produit nul : si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul.
- Réflexe « résoudre » : on factorise pour se ramener à un produit égal à $0$.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur le calcul littéral
C'est quoi le calcul littéral ?
Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui représentent des nombres. On manipule des expressions littérales (comme $3x + 5$) en les réduisant, en les développant ou en les factorisant, sans changer leur valeur.
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme : on enlève les parenthèses en effectuant les multiplications. Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit, en faisant apparaître un facteur commun ou une identité remarquable. Les deux opérations sont opposées.
Quelles sont les 3 identités remarquables ?
Les trois identités du programme sont $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Le terme $2ab$ s'appelle le double produit, et c'est celui qu'on oublie le plus souvent.
Comment factoriser une expression en 3ème ?
On cherche d'abord un facteur commun à tous les termes et on le met en facteur. S'il n'y en a pas, on regarde si l'expression est une identité remarquable (souvent une différence de carrés $a^2 - b^2$). On écrit la forme factorisée, puis on vérifie en développant.
Le calcul littéral tombe-t-il au Brevet ?
Oui, presque chaque année. On te demande souvent de développer, de réduire ou de factoriser une expression, parfois d'utiliser une identité remarquable, ou de résoudre une équation après factorisation. Ce sont des points faciles à prendre quand la méthode est connue.
Comment apprendre les identités remarquables par cœur ?
Le plus efficace est de les écrire dans les deux sens (développée et factorisée), de mémoriser surtout le double produit $2ab$, puis de t'entraîner à les reconnaître sur des exercices. À force de les utiliser, la reconnaissance devient automatique.