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Une fonction, c'est une machine à transformer les nombres : tu lui donnes un nombre, elle t'en renvoie un autre. En 3ème, deux fonctions très particulières reviennent tout le temps : la fonction linéaire et la fonction affine. Toutes les deux se représentent par une droite, et toutes les deux tombent presque chaque année au Brevet.
La bonne nouvelle, c'est que tout repose sur deux écritures à connaître : $f(x) = ax$ pour la fonction linéaire, et $f(x) = ax + b$ pour la fonction affine. Ici on va voir le vocabulaire (image, antécédent), comment calculer, comment lire et tracer la droite, comment retrouver $a$ et $b$, et des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ : sa droite passe toujours par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ : sa droite coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $b$. Le nombre $a$ est le coefficient directeur (la pente), et $b$ l'ordonnée à l'origine. La fonction linéaire est juste une fonction affine où $b = 0$.
Une fonction, c'est quoi exactement ?
Une fonction $f$ associe à un nombre un seul autre nombre. Si on part du nombre $x$, le nombre renvoyé se note $f(x)$, et se lit « $f$ de $x$ ». Par exemple, avec la fonction $f(x) = 2x + 1$, partir de $3$ donne $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
Deux mots de vocabulaire sont à connaître absolument, car ils tombent tout le temps. Le nombre que l'on obtient en sortie s'appelle l'image : ici, $7$ est l'image de $3$. Le nombre de départ s'appelle l'antécédent : $3$ est un antécédent de $7$. Retiens le sens des flèches : on part de l'antécédent, on arrive sur l'image.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour ne plus confondre, pense « antécédent = avant » (le nombre de départ, le $x$) et « image = ce qu'on voit à l'arrivée » (le résultat, le $f(x)$). Calculer une image, c'est facile : on remplace. Chercher un antécédent, c'est plus de travail : il faut résoudre une équation.
La fonction linéaire : f(x) = ax
Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé. C'est l'outil des situations de proportionnalité : multiplier $x$ par $a$, toujours le même nombre. Le nombre $a$ s'appelle le coefficient de la fonction.
Exemple concret : un stylo coûte $2$ euros. Le prix de $x$ stylos est $f(x) = 2x$. Pour $5$ stylos, $f(5) = 2 \times 5 = 10$ euros. Ici le coefficient $a = 2$ est tout simplement le prix d'un stylo. Quand une situation est une proportionnalité, on peut toujours la modéliser par une fonction linéaire, et $a$ est le coefficient de proportionnalité.
La fonction affine : f(x) = ax + b
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. On retrouve le coefficient directeur $a$, mais on ajoute cette fois un nombre $b$ : l'ordonnée à l'origine.
Reprenons un exemple de la vie courante. Une salle d'escalade demande $b = 8$ euros d'entrée, puis $a = 3$ euros par heure. Le prix pour $x$ heures est $f(x) = 3x + 8$. Pour $2$ heures, $f(2) = 3 \times 2 + 8 = 14$ euros. Le $b$ est ce qu'on paie « au départ » (avant même de commencer), et le $a$ est ce qui s'ajoute à chaque unité. Si $b = 0$, on retombe sur une fonction linéaire : c'est pour ça qu'on dit que la fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine.
📌 À Retenir
Linéaire : $f(x) = ax$ (proportionnalité, droite par l'origine). Affine : $f(x) = ax + b$ (droite décalée de $b$). Dans les deux cas, $a$ = coefficient directeur. Une fonction constante comme $f(x) = 5$ est une affine où $a = 0$ : sa droite est horizontale.
Linéaire ou affine : comment les distinguer ?
C'est une question piège classique du Brevet : on te donne plusieurs expressions et on te demande lesquelles sont linéaires, affines ou ni l'une ni l'autre. Le tableau suivant te donne tous les repères.
Linéaire, affine, constante : le comparatif
| Type | Forme | Droite | Exemple |
|---|---|---|---|
| Linéaire | $f(x) = ax$ | passe par l'origine $O$ | $f(x) = 4x$ |
| Affine | $f(x) = ax + b$ | coupe l'axe des ordonnées en $b$ | $f(x) = 4x + 2$ |
| Constante | $f(x) = b$ | horizontale | $f(x) = 5$ |
Attention, une expression comme $f(x) = x^2$ ou $f(x) = \frac{3}{x}$ n'est ni linéaire ni affine : il faut une écriture du type « un nombre fois $x$, plus éventuellement un autre nombre », sans carré, sans $x$ au dénominateur.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Calculer une image et un antécédent
Ce sont les deux calculs de base du chapitre, et ils n'ont pas du tout la même difficulté.
Calculer une image : on remplace
Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace $x$ par ce nombre, puis on calcule. Avec $f(x) = 3x - 5$, l'image de $4$ est :
$$f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$$
L'image de $4$ par $f$ est donc $7$. Aucune difficulté : c'est un simple remplacement suivi d'un calcul.
Calculer un antécédent : on résout une équation
Chercher l'antécédent d'un nombre, c'est trouver le $x$ de départ qui donne ce nombre en image. On doit donc résoudre une équation. Avec la même fonction $f(x) = 3x - 5$, cherchons l'antécédent de $7$. On résout $f(x) = 7$, c'est-à-dire :
$$3x - 5 = 7 \implies 3x = 12 \implies x = 4$$
L'antécédent de $7$ est $4$. C'est ici que le calcul littéral et les équations te resservent : si tu veux revoir cette technique, regarde ma fiche sur le calcul littéral en 3ème.
Représenter une fonction par une droite
La représentation graphique d'une fonction linéaire ou affine est toujours une droite. C'est ce qui les rend si pratiques : deux points suffisent pour la tracer.
Pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, la droite passe par l'origine $O$ du repère : il suffit d'un seul autre point pour la tracer. Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, la droite coupe l'axe des ordonnées au point de hauteur $b$ : on place d'abord le point $(0\,;\,b)$, puis un second point obtenu en calculant une image.
Concrètement, pour tracer $f(x) = 2x + 1$ : on place le point $(0\,;\,1)$ (car $b = 1$), puis on calcule un deuxième point, par exemple $f(3) = 7$, soit le point $(3\,;\,7)$. On relie les deux à la règle, et on prolonge. La droite est tracée.
💡 L'Astuce d'Inès
Choisis toujours des valeurs de $x$ qui donnent des calculs simples (souvent $0$ et un petit nombre comme $2$ ou $5$). Et place tes deux points bien écartés sur le graphique : plus ils sont loin l'un de l'autre, plus ta droite sera précise. Deux points proches, et la moindre imprécision fausse toute la droite.
Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
L'exercice inverse est aussi très fréquent : on connaît deux points (ou deux images) et on doit retrouver l'expression $f(x) = ax + b$. La méthode tient en deux étapes.
D'abord le coefficient directeur $a$. Si on connaît deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ de la droite, alors :
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
C'est la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses. Ensuite l'ordonnée à l'origine $b$ : une fois $a$ connu, on remplace les coordonnées d'un des deux points dans $f(x) = ax + b$, et on résout pour trouver $b$.
Exemple : la droite passe par $A(1\,;\,5)$ et $B(3\,;\,11)$. On calcule $a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$. Puis avec le point $A$ : $5 = 3 \times 1 + b$, donc $b = 2$. La fonction est $f(x) = 3x + 2$. Sur un graphique, $a$ se lit aussi « en escalier » : quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $a$. Les fonctions sont un classique du Brevet : pour réviser toute l'épreuve de maths, garde sous la main mon guide de révision du brevet de maths.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Confondre image et antécédent. Calculer une image, c'est remplacer $x$ (un calcul direct). Trouver un antécédent, c'est résoudre une équation. Lis bien la consigne : « image de $4$ » et « antécédent de $4$ » ne demandent pas du tout la même chose.
2. Oublier le $b$. Pour une fonction affine, la droite ne passe pas par l'origine (sauf si $b = 0$). Ne place jamais ta droite sur $O$ par réflexe : commence par le point $(0\,;\,b)$.
3. Inverser le calcul de $a$. Le coefficient directeur, c'est la variation des $y$ divisée par la variation des $x$, et toujours dans le même ordre en haut et en bas. Inverser le rapport, ou changer l'ordre d'un seul côté, donne un résultat faux.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : calculer une image
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x - 3$. Calcule l'image de $2$.
Voir le corrigé
On remplace $x$ par $2$ : $f(2) = 5 \times 2 - 3 = 10 - 3 = 7$. L'image de $2$ par $f$ est donc $7$.
Compétence évaluée : calculer l'image d'un nombre par une fonction.
Maths Exercice 2 : calculer un antécédent
Soit $g$ définie par $g(x) = 2x + 1$. Détermine l'antécédent de $9$.
Voir le corrigé
Chercher l'antécédent de $9$, c'est résoudre $g(x) = 9$, soit $2x + 1 = 9$. On obtient $2x = 8$, donc $x = 4$. L'antécédent de $9$ est $4$. On vérifie : $g(4) = 2 \times 4 + 1 = 9$.
Compétence évaluée : résoudre une équation pour trouver un antécédent.
Maths Exercice 3 : linéaire, affine ou ni l'une ni l'autre ?
Indique pour chaque fonction si elle est linéaire, affine, ou aucune des deux : $f(x) = 7x$, $g(x) = 7x - 4$, $h(x) = x^2 + 1$.
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$f(x) = 7x$ est de la forme $ax$ : elle est linéaire (et donc aussi affine, avec $b = 0$). $g(x) = 7x - 4$ est de la forme $ax + b$ : elle est affine. $h(x) = x^2 + 1$ contient un $x^2$ : elle n'est ni linéaire ni affine.
Compétence évaluée : reconnaître la nature d'une fonction.
Maths Exercice 4 : déterminer une fonction linéaire
$f$ est une fonction linéaire telle que $f(4) = 20$. Détermine son expression.
Voir le corrigé
Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$. On sait que $f(4) = 20$, donc $a \times 4 = 20$, ce qui donne $a = \dfrac{20}{4} = 5$. L'expression est $f(x) = 5x$.
Compétence évaluée : retrouver le coefficient d'une fonction linéaire à partir d'une image.
Maths Exercice 5 : déterminer une fonction affine
$f$ est une fonction affine telle que $f(0) = 3$ et $f(2) = 11$. Détermine son expression.
Voir le corrigé
On écrit $f(x) = ax + b$. Comme $f(0) = 3$, on a directement $b = 3$ (car $f(0) = a \times 0 + b = b$). Le coefficient directeur vaut $a = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{11 - 3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$. L'expression est $f(x) = 4x + 3$.
Compétence évaluée : déterminer une fonction affine à partir de deux images.
Maths Exercice 6 : problème concret
Un club de sport propose un abonnement : $15$ euros d'inscription, puis $4$ euros par séance. On note $f(x)$ le prix payé pour $x$ séances. Exprime $f(x)$, calcule le prix pour $10$ séances, et précise la nature de $f$.
Voir le corrigé
Le prix de départ est $15$ euros, auquel s'ajoutent $4$ euros par séance, donc $f(x) = 4x + 15$. Pour $10$ séances : $f(10) = 4 \times 10 + 15 = 55$ euros. Comme $f$ est de la forme $ax + b$ (avec $a = 4$ et $b = 15$), c'est une fonction affine.
Compétence évaluée : modéliser une situation par une fonction affine.
La fiche récap : tout sur les fonctions affines et linéaires
L'essentiel des fonctions affines et linéaires
- Image : on remplace $x$ par le nombre, puis on calcule.
- Antécédent : on résout l'équation $f(x) = $ nombre.
- Linéaire : $f(x) = ax$, droite qui passe par l'origine $O$.
- Affine : $f(x) = ax + b$, droite qui coupe l'axe des ordonnées en $b$.
- Coefficient directeur : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation des $y$ sur variation des $x$).
- Ordonnée à l'origine : $b$, c'est la valeur de $f(0)$.
- Tracer une droite : deux points bien écartés suffisent.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur les fonctions affines et linéaires
C'est quoi une fonction affine ?
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Le nombre $a$ est le coefficient directeur (la pente de la droite) et $b$ est l'ordonnée à l'origine (l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées).
Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?
Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ : sa droite passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ : sa droite est décalée de $b$. La fonction linéaire est en fait une fonction affine particulière, celle où $b = 0$.
Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction ?
On remplace $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction, puis on effectue le calcul. Par exemple, avec $f(x) = 3x - 5$, l'image de $4$ est $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7$.
Comment trouver un antécédent ?
Trouver l'antécédent d'un nombre, c'est résoudre l'équation $f(x) = $ ce nombre. Par exemple, l'antécédent de $9$ par $g(x) = 2x + 1$ se trouve en résolvant $2x + 1 = 9$, ce qui donne $x = 4$.
C'est quoi le coefficient directeur ?
Le coefficient directeur $a$ est la pente de la droite. À partir de deux points $A$ et $B$, il se calcule avec $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, c'est-à-dire la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.
Les fonctions tombent-elles au Brevet ?
Oui, presque chaque année. On demande souvent de calculer une image ou un antécédent, de reconnaître une fonction linéaire ou affine, de lire un coefficient directeur sur un graphique, ou de modéliser une situation concrète par une fonction affine.