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La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus quand on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même expérience qui n'a que deux issues possibles : succès ou échec. On la note $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, où $n$ est le nombre de répétitions et $p$ la probabilité de succès à chaque essai.
Si tu lis cet article, c'est sûrement que la loi binomiale vient d'arriver dans ton cours, ou qu'elle te paraît encore floue avec ses coefficients et sa calculatrice. Bonne nouvelle : tu l'as rencontrée en Première, et en Terminale spé maths tout repose sur une seule formule et trois ou quatre réflexes. Une fois que tu sais reconnaître une situation binomiale et sortir la bonne probabilité, tu ne perds plus de points dessus, que ce soit dans un exercice de probabilités ou dans une question sur la loi des grands nombres. C'est exactement ce qu'on construit ici, étape par étape.
📌 À Retenir
La loi binomiale compte les succès sur $n$ répétitions indépendantes, avec une probabilité de succès $p$ à chaque fois. Sa formule centrale : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$. Et deux résultats à connaître par cœur : l'espérance $E(X) = np$ et la variance $V(X) = np(1-p)$.
La loi binomiale, c'est quoi exactement ?
Tout part d'une expérience toute simple, appelée épreuve de Bernoulli : une expérience qui n'a que deux issues, l'une appelée « succès » (de probabilité $p$), l'autre « échec » (de probabilité $1 - p$). Lancer une pièce, répondre au hasard à une question de QCM, tester si un objet est défectueux : ce sont des épreuves de Bernoulli.
Quand tu répètes cette même épreuve $n$ fois, de façon identique et indépendante, tu obtiens un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre total de succès suit alors la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et on écrit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Les valeurs possibles de $X$ vont de $0$ (aucun succès) à $n$ (que des succès).
Pour visualiser, on représente souvent la situation par un arbre pondéré : à chaque niveau, deux branches partent, une pour le succès (probabilité $p$) et une pour l'échec (probabilité $1 - p$), et l'arbre a $n$ niveaux. Chaque chemin de l'arbre qui contient exactement $k$ succès a pour probabilité $p^k\,(1-p)^{n-k}$. C'est cette idée d'arbre qui explique toute la formule. La loi binomiale est un chapitre central, au même titre que la fonction exponentielle en analyse.
📌 À Retenir
Trois mots déclenchent la loi binomiale : répétition (la même épreuve, $n$ fois), indépendance (un essai n'influence pas le suivant) et deux issues (succès ou échec, avec $p$ constant). Si l'une de ces trois conditions manque, ce n'est pas une loi binomiale.
La formule de la loi binomiale et le coefficient binomial
Voici la formule à connaître absolument, celle qui donne la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès :
$$P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$$
Décortiquons-la. Le terme $p^k$ correspond aux $k$ succès (chacun de probabilité $p$). Le terme $(1-p)^{n-k}$ correspond aux $n - k$ échecs restants (chacun de probabilité $1 - p$). Et le facteur $\dbinom{n}{k}$, le coefficient binomial, compte le nombre de chemins différents de l'arbre qui réalisent ces $k$ succès, c'est-à-dire le nombre de façons de choisir les $k$ positions des succès parmi les $n$ essais.
Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (qui se lit « $k$ parmi $n$ ») se calcule directement à la calculatrice, mais quelques valeurs reviennent tout le temps : $\dbinom{n}{0} = 1$ (un seul chemin sans aucun succès), $\dbinom{n}{n} = 1$ (un seul chemin tout en succès) et $\dbinom{n}{1} = n$. Il possède aussi une symétrie pratique : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$. On peut les retrouver de proche en proche avec le triangle de Pascal, mais en pratique la calculatrice fait le travail.
Pour visualiser, voici la distribution des probabilités de notre fil rouge, la loi $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$ (un QCM de $10$ questions à $4$ choix). Chaque bâton donne la probabilité d'obtenir exactement $k$ bonnes réponses :
Distribution de la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$. La probabilité est maximale autour de $k = 2$, ce qui correspond à l'espérance $E(X) = np = 2{,}5$.
Toutes les formules de la loi binomiale en un tableau
C'est ici que beaucoup d'élèves se dispersent : la formule, l'espérance, la variance et les probabilités cumulées sont éparpillées dans le cours. Voici donc tout réuni en un seul mémo. Garde-le sous les yeux pour chaque exercice.
Le mémo complet de la loi binomiale
| Élément | Formule | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|
| Notation | $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ | $n$ répétitions, succès de probabilité $p$ |
| Exactement $k$ succès | $P(X=k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$ | La formule centrale |
| Coefficient binomial | $\dbinom{n}{k}$ | Nombre de chemins à $k$ succès |
| Espérance | $E(X) = np$ | Nombre moyen de succès |
| Variance | $V(X) = np(1-p)$ | Dispersion autour de la moyenne |
| Écart-type | $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ | Racine carrée de la variance |
| Au plus $k$ succès | $P(X \le k)$ (calculatrice) | Probabilité cumulée, touche binomFRép |
| Au moins $k$ succès | $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$ | On passe par l'événement contraire |
| Au moins un succès | $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ | Le cas le plus fréquent au bac |
| Conditions | $n$ fixé, 2 issues, $p$ constant, essais indépendants | Sinon ce n'est pas binomial |
Ce tableau est volontairement complet : tu peux y revenir à chaque question. Dans les parties qui suivent, on déplie chaque bloc (reconnaître la loi, calculer une probabilité, espérance) avec un même exemple concret pour que rien ne reste abstrait. Pour replacer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, retrouve-le dans le guide de spé maths Terminale.
Tu veux toutes ces formules sur une seule fiche claire ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac condensent la loi binomiale (formule, espérance, variance, calculatrice et pièges) en une page propre. De quoi réviser efficace sans recopier tout le cours, et sans oublier le coefficient binomial le jour J.
Voir les fiches Spé Maths Bac ›Reconnaître une loi binomiale : les 4 conditions
Avant de sortir la moindre formule, la première question d'un exercice de bac est presque toujours : « justifier que $X$ suit une loi binomiale ». Pour répondre proprement, tu dois vérifier les quatre conditions, l'une après l'autre :
- Une épreuve à deux issues : chaque essai est une épreuve de Bernoulli (succès ou échec), avec une probabilité de succès $p$.
- Une répétition de $n$ essais : on répète exactement $n$ fois la même épreuve, et $n$ est connu à l'avance.
- L'indépendance : le résultat d'un essai n'influence pas les autres (typiquement un tirage avec remise, ou une grande population).
- Une probabilité constante : $p$ est la même à chaque essai.
Si ces quatre points sont réunis, tu conclus : $X$, qui compte le nombre de succès, suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. Et tu précises les valeurs de $n$ et de $p$. C'est cette phrase de justification qui rapporte les premiers points de la question.
💡 La phrase type à recopier au bac
La justification rapporte des points faciles quand tu connais la formule type. Apprends celle-ci et adapte-la à chaque énoncé : « On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont le succès (ici : décrire le succès) a pour probabilité $p$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. » Tu remplaces $n$, $p$ et la description du succès par les données de l'exercice, et les premiers points sont acquis.
Calculer une probabilité à la calculatrice
Une fois la loi identifiée, presque tout se fait à la calculatrice. Il y a deux fonctions à connaître, et tout l'enjeu est de choisir la bonne selon la question.
Probabilité exacte : P(X = k)
Pour la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès, tu utilises la fonction de densité (notée binomFdp sur TI, Bpd sur Casio) : tu saisis $n$, $p$ et $k$. Tu peux aussi appliquer la formule à la main : $P(X=k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$.
Probabilité cumulée : P(X ≤ k)
Pour la probabilité d'obtenir au plus $k$ succès, tu utilises la fonction cumulée (notée binomFRép sur TI, Bcd sur Casio). Elle additionne toutes les probabilités de $X = 0$ jusqu'à $X = k$. Les autres cas s'en déduisent :
- Au moins $k$ : $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$ (on enlève les cas où il y a moins de $k$ succès).
- Au moins un : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$, le grand classique.
- Entre $a$ et $b$ : $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)$.
La loi binomiale sur ta calculatrice (TI, Casio, NumWorks)
| Calculatrice | $P(X = k)$ exacte | $P(X \le k)$ cumulée |
|---|---|---|
| TI-83 Premium CE | touches 2nde puis var, puis binomFdp(n, p, k) | 2nde puis var, puis binomFRép(n, p, k) |
| Casio Graph 35+E / 90+E | menu STAT → DIST → BINM → Bpd | menu STAT → DIST → BINM → Bcd |
| NumWorks | appli Probabilités → loi Binomiale, saisir n et p, puis $P(X = k)$ | appli Probabilités → Binomiale, icône de gauche $P(X \le k)$ |
Exemple concret avec notre QCM $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$ : pour « au plus $2$ bonnes réponses », tu saisis binomFRép(10, 0.25, 2) sur TI, ou Bcd sur Casio, ou l'icône cumulée sur NumWorks, et tu lis directement $0{,}526$. Pense à utiliser le point comme séparateur décimal sur la calculatrice ($0.25$ et non $0{,}25$).
💡 L'Astuce d'Inès
Avant de toucher la calculatrice, traduis la phrase en symboles. « Au moins une fois » veut dire $X \ge 1$, donc l'événement contraire $X = 0$, donc $1 - P(X = 0)$. « Au plus trois » veut dire $X \le 3$. Tant que tu n'as pas écrit l'inégalité, tu ne calcules rien : c'est là que se jouent la moitié des points.
Espérance, variance et écart-type
Trois nombres résument la loi binomiale, et ils se calculent sans la moindre somme compliquée :
$$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$
L'espérance $E(X) = np$ est le nombre moyen de succès que tu obtiendrais en répétant l'expérience un grand nombre de fois. C'est intuitif : sur $n$ essais où l'on réussit en moyenne une proportion $p$ du temps, on attend $np$ succès. La variance $V(X) = np(1-p)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ mesurent la dispersion autour de cette moyenne. En Terminale, l'espérance et la variance servent ensuite à encadrer les fluctuations avec l'inégalité de concentration et la loi des grands nombres.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier le coefficient binomial. $P(X=k)$ n'est pas $p^k\,(1-p)^{n-k}$ tout seul : il faut multiplier par $\dbinom{n}{k}$, qui compte les chemins. Sans lui, ta probabilité est beaucoup trop petite.
2. Confondre les inégalités. « Exactement $k$ » ($X = k$), « au plus $k$ » ($X \le k$) et « au moins $k$ » ($X \ge k$) donnent trois calculs différents. Lis la phrase avant de choisir la fonction de la calculatrice.
3. Utiliser la loi binomiale sans indépendance. Un tirage sans remise dans une petite population ne donne pas une loi binomiale, car $p$ change à chaque tirage. Vérifie toujours l'indépendance.
4. Confondre espérance et variance. $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$. L'espérance ne contient pas le facteur $(1-p)$ : ne mélange pas les deux formules.
Exercices corrigés
On déroule un même fil rouge : un QCM de $10$ questions, chacune à $4$ choix possibles, auquel un élève répond entièrement au hasard. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.
Maths Exercice 1 : justifier une loi binomiale
Un QCM comporte $10$ questions indépendantes, chacune à $4$ réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses. Justifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
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On vérifie les quatre conditions. Chaque question est une épreuve de Bernoulli à deux issues : bonne réponse (succès) ou mauvaise (échec). La probabilité de succès est $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$, constante car il y a toujours $4$ choix. On répète $n = 10$ fois, et les questions sont indépendantes (l'énoncé le précise). Donc $X$, qui compte les succès, suit la loi binomiale $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$.
Compétence évaluée : reconnaître un schéma de Bernoulli et donner $n$ et $p$.
Maths Exercice 2 : calculer P(X = k)
Avec $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$, calcule la probabilité que l'élève obtienne exactement $3$ bonnes réponses. On arrondira à $10^{-3}$.
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On applique la formule avec $n = 10$, $p = 0{,}25$ et $k = 3$ : $P(X = 3) = \dbinom{10}{3}\,(0{,}25)^3\,(0{,}75)^{7}$. Le coefficient vaut $\dbinom{10}{3} = 120$. On calcule : $P(X = 3) = 120 \times (0{,}25)^3 \times (0{,}75)^7 \approx 0{,}250$. La probabilité d'avoir exactement $3$ bonnes réponses est d'environ $0{,}250$, soit $25\,\%$.
Compétence évaluée : appliquer $P(X=k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$ sans oublier le coefficient.
Maths Exercice 3 : une probabilité cumulée P(X ≤ k)
Toujours avec $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$, calcule la probabilité que l'élève obtienne au plus $2$ bonnes réponses. On arrondira à $10^{-3}$.
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« Au plus $2$ » se traduit par $X \le 2$. On utilise la probabilité cumulée à la calculatrice : binomFRép$(10\,;\,0{,}25\,;\,2)$. On obtient $P(X \le 2) \approx 0{,}526$. Il y a donc environ $52{,}6\,\%$ de chances que l'élève ait au plus deux bonnes réponses : répondre au hasard mène très souvent à un faible score.
Compétence évaluée : traduire « au plus » et utiliser la fonction cumulée.
Maths Exercice 4 : le classique « au moins un »
Quelle est la probabilité que l'élève obtienne au moins une bonne réponse ? On arrondira à $10^{-3}$.
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« Au moins une » signifie $X \ge 1$. On passe par l'événement contraire « aucune bonne réponse », c'est-à-dire $X = 0$ : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$. Or $P(X = 0) = \dbinom{10}{0}\,(0{,}25)^0\,(0{,}75)^{10} = (0{,}75)^{10} \approx 0{,}056$. Donc $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}056 \approx 0{,}944$. L'élève a environ $94{,}4\,\%$ de chances d'avoir au moins une bonne réponse.
Compétence évaluée : utiliser l'événement contraire $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
Maths Exercice 5 : espérance, variance et écart-type
Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$. Interprète l'espérance.
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On applique les formules. Espérance : $E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$. Variance : $V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 1{,}875$. Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37$. Interprétation : en répondant au hasard à de nombreux QCM de ce type, l'élève obtiendrait en moyenne $2{,}5$ bonnes réponses sur $10$.
Compétence évaluée : appliquer $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$, interpréter l'espérance.
Maths Exercice 6 : repérer l'erreur
Pour calculer la probabilité de $2$ bonnes réponses avec $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$, un élève écrit $P(X = 2) = (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^8$. Repère son erreur et donne le bon résultat (arrondi à $10^{-3}$).
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L'élève a oublié le coefficient binomial $\dbinom{10}{2}$, qui compte le nombre de façons de placer les $2$ bonnes réponses parmi les $10$ questions. La formule correcte est $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}\,(0{,}25)^2\,(0{,}75)^8$. Avec $\dbinom{10}{2} = 45$, on obtient $P(X = 2) = 45 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^8 \approx 0{,}282$. Sans le facteur $45$, l'élève trouvait une probabilité environ $45$ fois trop petite : le coefficient binomial n'est jamais optionnel.
Compétence évaluée : ne jamais oublier le coefficient $\dbinom{n}{k}$.
La fiche récap : tout l'essentiel
L'essentiel de la loi binomiale
- Situation : $n$ répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve à deux issues, succès de probabilité $p$.
- Notation : $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, et $X$ prend les valeurs $0, 1, \dots, n$.
- Formule : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$ (ne jamais oublier le coefficient).
- Espérance : $E(X) = np$.
- Variance et écart-type : $V(X) = np(1-p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
- Cumulées : $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$ et $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
- Conditions : deux issues, $n$ fixé, $p$ constant, essais indépendants.
- Calculatrice : binomFdp pour $P(X=k)$, binomFRép pour $P(X \le k)$.
Prêt(e) à viser une bonne note au bac de maths ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac couvrent tout le programme, probabilités et loi binomiale comprises, avec les formules, les méthodes calculatrice et les pièges à connaître. Tout ce qu'il te faut pour réviser vite et juste avant l'épreuve.
Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur la loi binomiale
Qu'est-ce que la loi binomiale ?
La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès quand on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$, échec de probabilité $1 - p$). La variable $X$ qui compte les succès suit alors la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$.
Quelle est la formule de la loi binomiale ?
La formule est $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$, où $\dbinom{n}{k}$ est le coefficient binomial (« $k$ parmi $n$ »), $p^k$ correspond aux $k$ succès et $(1-p)^{n-k}$ aux échecs restants. C'est cette formule qui donne la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès.
Comment reconnaître une loi binomiale ?
Il faut vérifier quatre conditions : une épreuve à deux issues, répétée $n$ fois, avec des essais indépendants et une probabilité de succès $p$ constante. Si ces quatre points sont réunis, la variable qui compte les succès suit une loi binomiale. Un tirage sans remise, où $p$ change, n'en est pas une.
Comment calculer P(X = k) à la calculatrice ?
Pour une probabilité exacte $P(X = k)$, on utilise la fonction binomFdp (TI) ou Bpd (Casio) en saisissant $n$, $p$ et $k$. Pour une probabilité cumulée $P(X \le k)$, on utilise binomFRép (TI) ou Bcd (Casio). On peut aussi appliquer la formule à la main avec le coefficient binomial.
Quelle est l'espérance d'une loi binomiale ?
L'espérance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est $E(X) = np$. Elle représente le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions. La variance vaut $V(X) = np(1-p)$ et l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
Comment calculer « au moins un » avec la loi binomiale ?
On passe par l'événement contraire. « Au moins un succès » ($X \ge 1$) a pour probabilité $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$, où $P(X = 0) = (1-p)^n$. C'est plus rapide que d'additionner toutes les probabilités de $1$ à $n$, et c'est un grand classique du bac.
En quelle classe étudie-t-on la loi binomiale ?
La loi binomiale est introduite en Première spé maths (schéma de Bernoulli, formule), puis approfondie en Terminale spé maths avec l'espérance, la variance et la loi des grands nombres. C'est un chapitre central des probabilités qui tombe régulièrement à l'épreuve du bac.