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Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction réciproque de l'exponentielle : il « défait » ce que fait $e^x$. Il est défini pour tout réel strictement positif, vaut $0$ en $1$ et $1$ en $e$, et il transforme les produits en sommes.
Si tu lis cet article, c'est sûrement que le logarithme vient d'arriver dans ton cours, juste après l'exponentielle. Bonne nouvelle : tu connais déjà la moitié du chapitre, car $\ln$ est le miroir de $e^x$. Une fois que tu as ses propriétés et que tu penses toujours aux conditions d'existence, tu résous les équations en logarithme sans hésiter. C'est exactement ce qu'on construit ici, étape par étape.
📌 À Retenir
Le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ (pour $x > 0$). Deux valeurs clés : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$. Sa propriété fondamentale, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, transforme un produit en somme.
Le logarithme népérien, c'est quoi exactement ?
Tu connais la fonction exponentielle : à partir d'un nombre $x$, elle donne $e^x$. Le logarithme népérien fait exactement l'inverse : à partir d'un nombre strictement positif, il retrouve l'exposant. Autrement dit, $\ln(x) = y$ équivaut à $x = e^y$. C'est pour cela qu'on dit que $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.
Conséquence directe : le logarithme n'existe que pour les nombres strictement positifs, car l'exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Écrire $\ln(-3)$ ou $\ln(0)$ n'a aucun sens. Cette condition d'existence $x > 0$ est le réflexe numéro un du chapitre. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, elle passe par le point $(1\,;\,0)$ et grimpe de plus en plus lentement.
La courbe du logarithme népérien : strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, elle passe par $(1\,;\,0)$ et tend vers $-\infty$ près de l'axe des ordonnées.
Les propriétés du logarithme en un tableau
C'est ici que se jouent la plupart des points : le logarithme transforme les opérations. Voici toutes les propriétés réunies. Garde ce mémo sous les yeux, c'est ta référence pour tout le chapitre.
Toutes les propriétés du logarithme népérien
| Propriété | Règle | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|
| Valeur en 1 | $\ln(1) = 0$ | La courbe passe par $(1\,;\,0)$ |
| Valeur en e | $\ln(e) = 1$ | Le nombre $e \approx 2{,}718$ |
| Réciproque | $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ | $\ln$ défait l'exponentielle |
| Produit | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ | Un produit devient une somme |
| Quotient | $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ | Un quotient devient une différence |
| Inverse | $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$ | L'inverse change le signe |
| Puissance | $\ln(a^n) = n \ln a$ | L'exposant passe devant |
| Racine | $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a$ | Cas particulier de la puissance |
| Dérivée | $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ | Et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ |
| Limites | $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, $\;\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ | Croît sans borne, plonge en $0$ |
Ces règles servent à simplifier une expression ou à résoudre une équation. Par exemple, $\ln(12) - \ln(3) = \ln\!\left(\dfrac{12}{3}\right) = \ln(4)$. Pour replacer ce chapitre dans l'année, retrouve-le dans le guide de spé maths Terminale.
Tu veux toutes ces propriétés sur une seule fiche claire ?
Mes fiches de révision Spé Maths Bac condensent le logarithme (propriétés, dérivée, limites, équations) en une page propre. De quoi réviser efficace sans recopier tout le cours, et sans oublier les conditions d'existence le jour J.
Voir les fiches Spé Maths Bac ›Dériver et étudier les limites
La dérivée du logarithme est très simple : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. Comme $x > 0$, cette dérivée est toujours strictement positive, ce qui confirme que $\ln$ est strictement croissante. Pour une fonction composée, on applique $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ : on divise la dérivée de l'intérieur par l'intérieur.
Côté limites, il faut connaître la croissance comparée, qui revient au bac : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, mais les puissances l'emportent sur le logarithme. Concrètement :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$
La première dit que $\ln x$ grandit beaucoup plus lentement que $x$. La seconde dit qu'en $0$, le facteur $x$ écrase le $\ln x$ qui tend vers $-\infty$. Ces deux limites lèvent les formes indéterminées que tu croiseras dans les études de fonctions.
Résoudre une équation avec le logarithme
C'est l'application la plus testée. Tout repose sur deux réflexes, à condition de toujours commencer par le domaine.
- Réflexe 1 : $\ln A = \ln B$. Comme $\ln$ est strictement croissante, on peut « ôter les logarithmes » : $\ln A = \ln B \iff A = B$ (avec $A > 0$ et $B > 0$).
- Réflexe 2 : $\ln x = k$. On repasse à l'exponentielle : $\ln x = k \iff x = e^k$.
💡 L'Astuce d'Inès
Avant toute chose, écris les conditions d'existence. Chaque $\ln(\text{expression})$ impose que l'expression soit strictement positive. Tu résous l'équation, puis tu vérifies que chaque solution respecte ces conditions. Une solution qui rend un logarithme impossible est à rejeter : c'est le réflexe qui te sauve à chaque exercice.
Les pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier les conditions d'existence. $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Avant de résoudre, écris les conditions, et vérifie tes solutions à la fin.
2. Croire que $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$. C'est faux. Le logarithme transforme le produit en somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Pour une somme, on ne peut rien simplifier.
3. Penser que $\ln x$ est toujours positif. $\ln x$ est négatif pour $0 < x < 1$, nul en $1$, et positif seulement pour $x > 1$.
4. Mal dériver $\ln u$. La dérivée est $\dfrac{u'}{u}$, pas $\dfrac{1}{u}$. On n'oublie jamais le $u'$ au numérateur.
Exercices corrigés
Maths Exercice 1 : simplifier avec les propriétés
Exprime $A = \ln(8)$ en fonction de $\ln(2)$.
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On remarque que $8 = 2^3$. On applique la propriété de la puissance $\ln(a^n) = n \ln a$ : $A = \ln(2^3) = 3 \ln(2)$. La réponse est $A = 3 \ln 2$.
Compétence évaluée : utiliser $\ln(a^n) = n \ln a$.
Maths Exercice 2 : résoudre ln(x) = k
Résous dans $]0\,;\,+\infty[$ l'équation $\ln(x) = 3$.
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On repasse à l'exponentielle (réflexe 2) : $\ln(x) = 3 \iff x = e^3$. La valeur $e^3 \approx 20{,}1$ est bien strictement positive, donc elle convient. La solution est $x = e^3$, que l'on garde sous forme exacte.
Compétence évaluée : utiliser $\ln x = k \iff x = e^k$.
Maths Exercice 3 : résoudre ln A = ln B
Résous l'équation $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$.
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Conditions d'existence : il faut $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$, donc $x > \dfrac{1}{2}$. On applique le réflexe 1 : $\ln(2x-1) = \ln(x+3) \iff 2x - 1 = x + 3$, soit $x = 4$. Comme $4 > \dfrac{1}{2}$, la condition est respectée. La solution est $x = 4$.
Compétence évaluée : résoudre $\ln A = \ln B$ et vérifier le domaine.
Maths Exercice 4 : dériver un logarithme composé
Dérive la fonction $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.
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On applique $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$, donc $u' = 2x$. On obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. On remarque au passage que $x^2 + 1 > 0$, donc $\ln(x^2+1)$ est bien défini sur $\mathbb{R}$.
Compétence évaluée : appliquer $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
Maths Exercice 5 : une limite par croissance comparée
Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$.
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On reconnaît une forme indéterminée « $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ ». C'est exactement le théorème de croissance comparée : la puissance $x$ l'emporte sur le logarithme. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. C'est un résultat de cours à citer directement.
Compétence évaluée : reconnaître et citer la croissance comparée.
Maths Exercice 6 : le piège du domaine
Un élève résout $\ln(x - 2) = 1$ et trouve $x = 3$. Vérifie son résultat et corrige si besoin.
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Condition d'existence : $x - 2 > 0$, donc $x > 2$. On résout en repassant à l'exponentielle : $\ln(x - 2) = 1 \iff x - 2 = e^1 = e$, soit $x = e + 2 \approx 4{,}72$. L'élève a confondu $e$ avec $1$ : la bonne solution est $x = e + 2$, pas $x = 3$. Elle respecte bien la condition $x > 2$.
Compétence évaluée : repasser correctement à l'exponentielle et vérifier le domaine.
La fiche récap : tout l'essentiel
L'essentiel du logarithme népérien
- Définition : réciproque de l'exponentielle, $\ln(x) = y \iff x = e^y$, définie pour $x > 0$.
- Valeurs : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
- Algèbre : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\;\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\;\ln(a^n) = n \ln a$.
- Dérivées : $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
- Variation : strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
- Limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, $\;\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, $\;\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$.
- Équations : $\ln A = \ln B \iff A = B$ ; $\;\ln x = k \iff x = e^k$ (toujours vérifier le domaine).
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Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur le logarithme népérien
Qu'est-ce que le logarithme népérien ?
Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln(x) = y$ équivaut à $x = e^y$. Il est défini pour tout réel strictement positif, vaut $0$ en $1$ et $1$ en $e$, et transforme les produits en sommes.
Quelles sont les propriétés du logarithme népérien ?
Les principales sont : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a$ et $\ln(a^n) = n \ln a$. Le logarithme transforme un produit en somme et une puissance en multiplication.
Comment résoudre une équation avec ln ?
On commence par écrire les conditions d'existence (chaque expression dans un $\ln$ doit être strictement positive). Ensuite, si $\ln A = \ln B$, on résout $A = B$ ; si $\ln x = k$, on a $x = e^k$. On vérifie enfin que les solutions respectent le domaine.
Quelle est la dérivée de ln(x) ?
La dérivée de $\ln(x)$ est $\dfrac{1}{x}$. Pour une fonction composée, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ : on divise la dérivée de l'intérieur par l'intérieur, sans jamais oublier le $u'$.
Quel est le lien entre ln et la fonction exponentielle ?
Ce sont deux fonctions réciproques : elles s'annulent l'une l'autre. On a $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour tout $x$ strictement positif. La courbe de $\ln$ est le symétrique de celle de $e^x$ par rapport à la première bissectrice.
Pourquoi ln(x) n'existe que pour x positif ?
Parce que le logarithme est la réciproque de l'exponentielle, et que $e^y$ est toujours strictement positif. Le logarithme ne peut donc « remonter » que des nombres strictement positifs : $\ln(-3)$ et $\ln(0)$ n'existent pas.
En quelle classe étudie-t-on le logarithme népérien ?
Le logarithme népérien est au programme de Terminale spé maths, juste après l'exponentielle dont il est la réciproque. C'est un chapitre central qui tombe régulièrement à l'épreuve du bac, seul ou dans une étude de fonction.