Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, qui mesure à quel point ces deux vecteurs pointent dans la même direction. On le calcule avec la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.
Si cette notion te paraît floue, pas de panique : c'est normal au début. Le produit scalaire est l'un des outils les plus puissants de la spé maths, au même titre que la fonction exponentielle. Il te sert à calculer des angles, des longueurs, à prouver que deux droites sont perpendiculaires ou à trouver l'équation d'un cercle. Une fois que tu as compris le réflexe « quelle formule selon ce que me donne l'énoncé », tu ne perds plus jamais de points dessus. C'est exactement ce qu'on va construire ici.
📌 À Retenir
Le produit scalaire transforme deux vecteurs en un seul nombre. Formule de base : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$. Et le résultat clé du chapitre : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ signifie que les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires).
Le produit scalaire, c'est quoi exactement ?
Jusqu'ici, tu savais additionner des vecteurs ou les multiplier par un nombre. Le produit scalaire, lui, te permet de multiplier deux vecteurs entre eux. Mais attention : le résultat n'est pas un vecteur, c'est un nombre réel (on dit aussi un « scalaire », d'où le nom).
Géométriquement, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ traduit l'idée de projection. Si les deux vecteurs vont globalement dans le même sens, le produit scalaire est positif. S'ils vont en sens contraire (angle obtus), il est négatif. Et s'ils sont perpendiculaires, il vaut exactement $0$. Cette dernière propriété est tellement utile qu'on lui consacre une partie entière plus bas.
Un cas particulier à connaître par cœur : le produit scalaire d'un vecteur par lui-même. On l'appelle le carré scalaire et il vaut le carré de la norme : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$. On le note souvent $\vec{u}^{\,2}$. Ce petit résultat est ton meilleur allié pour développer des expressions, tu vas le voir.
Les 5 méthodes pour calculer un produit scalaire
Il n'existe pas une seule formule, mais cinq. Et c'est une bonne nouvelle : à l'examen, tu choisis celle qui correspond aux données de l'énoncé. Voici les cinq, de la plus utilisée à la plus situationnelle.
Méthode 1 : avec les normes et l'angle (le cosinus)
C'est la définition. Si tu connais les longueurs des deux vecteurs et l'angle entre eux :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$$
Quand l'utiliser : l'énoncé te donne deux longueurs et un angle. Exemple éclair : avec $\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 6$ et un angle de $60°$, on obtient $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 \times \cos(60°) = 24 \times 0{,}5 = 12$.
Méthode 2 : avec le projeté orthogonal
Tu projettes un vecteur sur la droite qui porte l'autre. Si $H$ est le projeté orthogonal de l'extrémité de $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$, alors le produit scalaire vaut la longueur de $\vec{u}$ multipliée par la mesure algébrique de ce projeté.
Quand l'utiliser : une figure géométrique avec un angle droit déjà tracé, ou un énoncé qui parle de projection. C'est la méthode la plus visuelle.
Méthode 3 : dans un repère orthonormé (les coordonnées)
La méthode la plus rapide et la plus sûre dès que tu as des coordonnées. Si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ dans un repère orthonormé :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$
Quand l'utiliser : dès que l'énoncé te donne des coordonnées. Exemple : $\vec{u}\,(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}\,(4\,;\,5)$ donnent $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 5 = 12 - 10 = 2$.
Méthode 4 : avec les normes (la formule de polarisation)
Pratique quand tu ne connais que des longueurs (et aucun angle ni coordonnée) :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$
Quand l'utiliser : l'énoncé te donne trois longueurs (souvent les trois côtés d'un triangle). C'est elle qui se cache derrière le théorème d'Al-Kashi.
Méthode 5 : avec la relation de Chasles
Quand les vecteurs sont définis par des points d'une figure, tu décomposes avec Chasles pour te ramener à des vecteurs que tu maîtrises, puis tu développes par bilinéarité (voir les propriétés plus bas). C'est la méthode « de secours » quand aucune des quatre autres ne s'applique directement.
Quelle formule choisir ? Le réflexe en un coup d'œil
C'est ici que la plupart des élèves bloquent : ils connaissent les formules mais ne savent pas laquelle sortir. Le secret tient en une question : qu'est-ce que l'énoncé me donne ? Garde ce tableau en tête, c'est lui qui te fait gagner du temps le jour J.
Quelle méthode selon ce que tu as
| Ce que l'énoncé te donne | Méthode à utiliser | Formule |
|---|---|---|
| Deux longueurs + un angle | Cosinus (méthode 1) | $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ |
| Des coordonnées (repère orthonormé) | Coordonnées (méthode 3) | $xx' + yy'$ |
| Trois longueurs (un triangle) | Normes (méthode 4) ou Al-Kashi | $\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$ |
| Une figure avec un angle droit | Projeté orthogonal (méthode 2) | $\|\vec{u}\| \times \overline{\text{projeté}}$ |
| Des vecteurs entre points | Chasles + développement (méthode 5) | décomposer puis distribuer |
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Mes fiches de révision Spé Maths Première résument chaque chapitre en une page claire : définitions, formules et la méthode pas à pas. De quoi réviser efficace sans recopier tout le cours.
Voir les fiches Spé Maths Première ›Les propriétés à connaître
Le produit scalaire se comporte presque comme une multiplication classique, ce qui te permet de développer des expressions. Trois propriétés à retenir :
- Symétrie (commutativité) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. L'ordre n'a aucune importance.
- Bilinéarité : tu peux distribuer et sortir les nombres, par exemple $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
- Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
Grâce à ces règles, une expression comme $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ se développe exactement comme une identité remarquable : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
💡 L'Astuce d'Inès
Quand tu vois une norme au carré, transforme-la en carré scalaire : $\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. Tu peux alors développer comme avec $(a+b)^2$. C'est la clé de 90 % des démonstrations du chapitre.
Produit scalaire et orthogonalité
Voici la propriété la plus utilisée du chapitre, celle qui tombe à tous les contrôles :
📌 À Retenir
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$ (les vecteurs sont orthogonaux), à condition qu'aucun des deux ne soit le vecteur nul.
Concrètement, pour prouver que deux droites sont perpendiculaires, tu n'as plus besoin de mesurer un angle : tu calcules le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et tu vérifies qu'il vaut $0$. Par exemple, $\vec{u}\,(2\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(6\,;\,-4)$ donnent $2 \times 6 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0$ : les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
Les applications qui tombent au bac
Vecteur normal et équation d'une droite
Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à sa direction. Si une droite a pour vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;\,b)$, alors son équation cartésienne est de la forme $ax + by + c = 0$. Inversement, en lisant l'équation $3x + 2y - 6 = 0$, tu lis directement le vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;\,2)$.
Équation d'un cercle
Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ (l'angle $\widehat{AMB}$ est droit). En développant cette égalité avec les coordonnées, tu obtiens l'équation cartésienne du cercle. C'est une application directe de l'orthogonalité.
Le théorème d'Al-Kashi
C'est la version « triangle quelconque » du théorème de Pythagore. Dans un triangle $ABC$, avec $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$ :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$$
Il te permet de calculer un côté ou un angle dès que le triangle n'est pas rectangle.
Le théorème de la médiane
Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors pour tout point $M$ : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$. Pratique pour relier des longueurs sans passer par les coordonnées.
Et dans l'espace ? (spécial Terminale)
En Terminale, le produit scalaire passe du plan à l'espace, et la bonne nouvelle, c'est que presque tout reste pareil. La définition avec le cosinus ne change pas. Et la formule des coordonnées gagne juste une troisième composante. Dans un repère orthonormé de l'espace, avec $\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y'\,;\,z')$ :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$
L'orthogonalité fonctionne exactement de la même façon : un produit scalaire nul signifie deux vecteurs perpendiculaires. C'est ce qui te sert ensuite à trouver un vecteur normal à un plan, ou à calculer la distance d'un point à un plan, deux grands classiques de l'épreuve de spé maths. Pour situer ce chapitre dans tout le programme, jette un œil à mon guide complet de spé maths au bac.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Oublier le signe avec un angle obtus. Si l'angle dépasse $90°$, son cosinus est négatif, donc le produit scalaire aussi. Ne mets jamais un résultat positif par réflexe.
2. Utiliser les coordonnées dans un repère non orthonormé. La formule $xx' + yy'$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Vérifie toujours cette condition avant de l'appliquer.
3. Confondre le projeté et les coordonnées. Le projeté orthogonal (méthode 2) et la lecture des coordonnées (méthode 3) sont deux choses différentes. Repère bien ce que l'énoncé te donne avant de te lancer.
Exercices corrigés
Maths Exercice 1 : calcul avec un angle
On donne $\|\vec{u}\| = 5$, $\|\vec{v}\| = 3$ et un angle $\widehat{(\vec{u}, \vec{v})} = 30°$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
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On applique la méthode 1 (cosinus) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 3 \times \cos(30°) = 15 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{2} \approx 12{,}99$.
Compétence évaluée : appliquer la formule avec le cosinus.
Maths Exercice 2 : calcul avec les coordonnées
Dans un repère orthonormé, $\vec{u}\,(-2\,;\,4)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,1)$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
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Méthode 3 (coordonnées) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2) \times 3 + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2$. Le résultat est négatif : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.
Compétence évaluée : calcul analytique et lecture du signe.
Maths Exercice 3 : prouver une orthogonalité
Les vecteurs $\vec{u}\,(4\,;\,-6)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,2)$ sont-ils orthogonaux ?
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On calcule le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 + (-6) \times 2 = 12 - 12 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Compétence évaluée : utiliser la condition d'orthogonalité.
Maths Exercice 4 : théorème d'Al-Kashi
Dans un triangle $ABC$, on a $AB = 8$, $AC = 5$ et l'angle $\widehat{A} = 60°$. Calcule la longueur $BC$.
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Avec Al-Kashi, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A})$, soit $BC^2 = 64 + 25 - 2 \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 89 - 40 = 49$. Donc $BC = \sqrt{49} = 7$.
Compétence évaluée : appliquer Al-Kashi à un triangle quelconque.
Maths Exercice 5 : développer une norme
On sait que $\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$. Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$.
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On développe avec le carré scalaire : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 16 + 2 \times 5 + 9 = 35$.
Compétence évaluée : développer une norme au carré (bilinéarité).
Maths Exercice 6 : produit scalaire dans l'espace (Terminale)
Dans un repère orthonormé de l'espace, $\vec{u}\,(1\,;\,2\,;\,2)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,-3\,;\,2)$. Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Voir le corrigé
On ajoute simplement la troisième composante : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-3) + 2 \times 2 = 2 - 6 + 4 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc les deux vecteurs sont orthogonaux.
Compétence évaluée : étendre le calcul au produit scalaire dans l'espace.
La fiche récap : toutes les formules
L'essentiel du produit scalaire
- Définition : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ (le résultat est un nombre).
- Coordonnées (orthonormé) : plan $xx' + yy'$, espace $xx' + yy' + zz'$.
- Polarisation : $\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2)$.
- Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
- Orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$.
- Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$.
Prêt(e) à viser une bonne note au bac de maths ?
Mes fiches de révision Spé Maths Terminale couvrent tout le programme, y compris le produit scalaire dans l'espace, avec les méthodes et les pièges à connaître. Tout ce qu'il te faut pour réviser vite et juste.
Découvrir les fiches Spé Maths Bac ›Questions fréquentes sur le produit scalaire
Comment calculer un produit scalaire ?
Tu choisis l'une des cinq méthodes selon les données de l'énoncé : avec les normes et l'angle (cosinus), avec le projeté orthogonal, avec les coordonnées en repère orthonormé ($xx' + yy'$), avec la formule de polarisation, ou en décomposant avec la relation de Chasles.
Que signifie un produit scalaire nul ?
Un produit scalaire égal à $0$ signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire perpendiculaires (sauf si l'un des vecteurs est nul). C'est la méthode la plus rapide pour prouver une perpendicularité.
Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?
Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre réel. Le produit vectoriel, lui, donne un vecteur. Au lycée en spé maths, c'est le produit scalaire que tu utilises.
Le produit scalaire est-il commutatif ?
Oui. Le produit scalaire est symétrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat.
À quoi sert le produit scalaire ?
Il sert à calculer des angles et des longueurs, à prouver que deux vecteurs ou deux droites sont perpendiculaires, à trouver un vecteur normal, et à déterminer l'équation d'une droite ou d'un cercle. C'est un outil central de la géométrie au lycée.