Géométrie dans l'espace en Terminale : cours et exercices corrigés

La géométrie dans l'espace en Terminale transforme une figure en calculs : coordonnées, vecteurs, représentations paramétriques et équations de plans. Pour réussir, tu n’as pas besoin de « voir » parfaitement le solide. Tu dois surtout reconnaître l’objet étudié, choisir le bon vecteur, effectuer un test puis traduire le résultat en conclusion géométrique.

Ce cours reprend les méthodes indispensables sur les vecteurs, les droites, les plans, l’orthogonalité et les distances. Tu trouveras ensuite six exercices corrigés de géométrie dans l’espace, du calcul de coordonnées jusqu’au problème mixte type bac.

Le chapitre de géométrie dans l'espace Terminale réunit donc plusieurs écritures, mais toutes répondent à la même logique : traduire une situation, calculer, puis interpréter.

Géométrie dans l'espace en Terminale : ce qu’il faut savoir

En spécialité mathématiques, le programme officiel demande de manipuler les vecteurs droites et plans de l'espace, d’étudier l’orthogonalité et les distances, puis d’utiliser des représentations paramétriques et des équations cartésiennes. Ces contenus peuvent être mobilisés dans l’épreuve terminale de spécialité. Cela ne signifie pas qu’un format précis, une fréquence ou un nombre de points soient garantis.

Objets, outils et tests à reconnaître

Une droite est décrite par un point et une direction. Un plan est décrit par un point et deux directions non colinéaires, ou plus souvent par un point et un vecteur normal. Le point de départ consiste donc à lire les données et à identifier leur rôle.

• Pour un point dans une droite, tu cherches une même valeur du paramètre dans les trois coordonnées.
• Pour un point dans un plan, tu remplaces ses coordonnées dans l’équation du plan.
• Pour une droite et un plan, tu compares le vecteur directeur de la droite au vecteur normal du plan.
• Pour deux plans, tu compares leurs vecteurs normaux.
• Pour une intersection, tu combines les équations et tu résous avant de revenir aux coordonnées du point.

Le réflexe : un calcul, une conclusion géométrique

Un calcul seul ne répond presque jamais entièrement à une question de géométrie. Si tu obtiens $\vec u \cdot \vec n = 0$, précise ce que représentent les vecteurs : « le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, donc la droite est parallèle au plan ». Si tu trouves une valeur unique du paramètre, conclus que la droite coupe le plan en un point, puis donne ses coordonnées.

Cette rédaction est courte, mais elle montre que tu sais interpréter ton résultat. À l’inverse, une phrase comme « donc c’est perpendiculaire » sans nommer les objets est ambiguë : deux vecteurs peuvent être perpendiculaires alors que la droite et le plan sont parallèles.

Vecteurs et repères de l’espace

Dans un repère de l’espace, un point possède trois coordonnées : $A(x_A;y_A;z_A)$. Les calculs vectoriels fonctionnent comme dans le plan, avec une troisième composante. Si $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, alors

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A).$$

Coordonnées, norme et milieu

Pour $\vec u=(a;b;c)$, sa norme vaut $\lVert\vec u\rVert=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées

$$I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right).$$

Ces formules servent souvent de première étape. On calcule par exemple deux vecteurs issus du même point pour prouver un alignement, construire un vecteur normal ou vérifier qu’un triangle est rectangle.

Colinéarité, alignement et coplanarité

Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires lorsqu’il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec u=\lambda\vec v$. Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si l’un d’eux peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres, par exemple $\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v$. En pratique, tu traduis cette égalité coordonnée par coordonnée et tu vérifies qu’un même couple $(\alpha;\beta)$ convient dans les trois lignes.

Comment écrire la représentation paramétrique d'une droite ?

Une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et dirigée par le vecteur non nul $\vec u=(a;b;c)$ possède la représentation paramétrique

Pour construire une représentation paramétrique d'une droite, il suffit donc d’identifier un point de départ et un vecteur directeur non nul.

$$\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}\quad\text{avec }t\in\mathbb R.$$

Le réel $t$ fait avancer le point le long de la droite. Pour $t=0$, on retrouve $A$. Pour $t=1$, on obtient le point de coordonnées $(x_A+a;y_A+b;z_A+c)$.

Partir d’un point et d’un vecteur directeur

Supposons que $A(2;-1;3)$ et $\vec u=(1;2;-1)$. Une représentation paramétrique de la droite est

$$\begin{cases}x=2+t\\y=-1+2t\\z=3-t\end{cases}$$

Cette écriture n’est pas unique. Tu peux choisir un autre point de la droite ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul. Les équations changent, mais l’ensemble des points reste le même.

Tester si un point appartient à la droite

Pour tester le point $M(x_M;y_M;z_M)$, remplace $x$, $y$ et $z$ par ses coordonnées. Le point appartient à la droite si une même valeur de $t$ satisfait les trois équations. Trouver $t=2$ avec la première équation et $t=3$ avec la deuxième prouve au contraire que $M$ n’appartient pas à la droite.

Quand une composante du vecteur directeur est nulle, la coordonnée correspondante reste constante. Si $c=0$, tous les points de la droite ont la même cote $z_A$. Il ne faut alors pas diviser par zéro : vérifie directement la coordonnée.

Comment trouver l'équation cartésienne d'un plan ?

Un plan de vecteur normal non nul $\vec n=(a;b;c)$ admet une équation cartésienne de la forme

Une équation cartésienne d'un plan traduit l’orthogonalité entre le vecteur normal et tous les vecteurs reliant deux points du plan.

$$ax+by+cz+d=0.$$

Le vecteur $(a;b;c)$ est perpendiculaire à toutes les directions du plan. Le nombre $d$ place le plan dans l’espace ; il se calcule grâce aux coordonnées d’un point connu du plan.

Lire ou construire un vecteur normal

Si l’équation du plan est $2x-y+3z-5=0$, un vecteur normal est immédiatement $\vec n=(2;-1;3)$. Tous ses multiples non nuls conviennent aussi.

Si le plan est défini par trois points non alignés $A$, $B$ et $C$, cherche un vecteur $\vec n=(a;b;c)$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Tu résous donc le système $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$, puis tu choisis une solution non nulle simple.

Utiliser un point pour déterminer la constante

Si le plan passe par $A(x_A;y_A;z_A)$ et possède le vecteur normal $(a;b;c)$, tu peux écrire directement

$$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$$

En développant, tu retrouves $ax+by+cz+d=0$. Pour vérifier le résultat, remplace les coordonnées de $A$ : l’expression doit être nulle. Cette substitution est le contrôle le plus rapide contre une erreur de signe.

Positions relatives et intersections

Dans l’espace, deux droites peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires. Une droite et un plan peuvent être parallèles, la droite peut être incluse dans le plan, ou ils peuvent être sécants. Deux plans peuvent être parallèles, confondus ou sécants suivant une droite.

Droite et plan : parallèle, incluse ou sécante

Soit une droite de vecteur directeur $\vec u$ et un plan de vecteur normal $\vec n$.

• Si $\vec u\cdot\vec n=0$, la direction de la droite est parallèle au plan. Teste alors un point de la droite : s’il appartient au plan, la droite y est incluse ; sinon elle est strictement parallèle.
• Si $\vec u\cdot\vec n\neq0$, la droite est sécante au plan : elle le coupe en un point unique.
• Si $\vec u$ est colinéaire à $\vec n$, la droite est perpendiculaire au plan.

Deux droites ou deux plans

Pour deux droites, commence par comparer leurs vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues : un test d’appartenance d’un point permet de trancher. S’ils ne sont pas colinéaires, ne conclus pas trop vite qu’elles sont sécantes. Il faut résoudre leurs représentations paramétriques ; l’absence de solution signifie qu’elles sont non coplanaires.

Pour deux plans, compare les vecteurs normaux. Des normales colinéaires donnent des plans parallèles ou confondus. Des normales non colinéaires donnent deux plans sécants suivant une droite.

Résoudre puis interpréter l’intersection

Pour intersecter une droite paramétrée avec un plan, remplace $x$, $y$ et $z$ du plan par leurs expressions en fonction de $t$. Tu obtiens une équation à une inconnue. Une solution unique donne le paramètre du point d’intersection ; reporte-la ensuite dans les trois coordonnées de la droite.

Si l’équation devient une égalité toujours vraie, la droite est incluse dans le plan. Si elle devient une égalité impossible, elle est strictement parallèle. Le calcul contient donc déjà l’information géométrique, à condition de l’interpréter.

Orthogonalité dans l'espace, projeté et distances

L’orthogonalité dans l'espace se traite avec le produit scalaire : pour deux vecteurs non nuls, $\vec u\cdot\vec v=0$ signifie qu’ils sont orthogonaux. Tu peux revoir les méthodes du produit scalaire si tu veux consolider ce calcul avant de l’appliquer dans l’espace.

Prouver une orthogonalité

Avec $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(a';b';c')$,

$$\vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'.$$

Pour prouver qu’une droite est perpendiculaire à un plan, montre que son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan. Pour prouver que deux plans sont perpendiculaires, montre que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Trouver un projeté et une distance point-plan

Le projeté orthogonal $H$ d’un point $A$ sur un plan $\mathcal P$ est l’intersection du plan avec la droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur normal $\vec n$ à $\mathcal P$. La méthode est régulière :

1. écris la représentation paramétrique de la droite $(AH)$ avec le vecteur directeur $\vec n$ ;
2. remplace ses coordonnées dans l’équation du plan ;
3. résous pour trouver le paramètre de $H$ ;
4. calcule les coordonnées de $H$, puis la longueur $AH$.

Pour $A(x_A;y_A;z_A)$ et $\mathcal P:ax+by+cz+d=0$, on peut aussi utiliser directement

$$d(A,\mathcal P)=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

La construction du projeté explique cette formule et reste utile si l’énoncé demande les coordonnées de $H$.

La méthode type bac en cinq étapes

Un exercice de géométrie dans l’espace mélange souvent plusieurs outils. Pour ne pas partir dans toutes les directions, suis ce protocole.

1. Nommer les objets : points, droites, plans, vecteurs donnés ou à calculer.
2. Traduire les données : un point et un directeur pour une droite ; un point et une normale pour un plan.
3. Choisir le test : colinéarité, produit scalaire, appartenance ou résolution d’un système.
4. Calculer proprement : conserve les valeurs exactes et vérifie les coordonnées obtenues.
5. Conclure : nomme les objets et la propriété démontrée.

Identifier les données réellement utiles

Surligne les mots « passe par », « dirigée par », « normal à », « appartient à » et « projeté orthogonal ». Ils indiquent presque directement l’outil. Une équation de plan fournit sa normale ; une représentation paramétrique fournit un point et un directeur ; trois points non alignés fournissent deux directions du plan.

Rédiger la conclusion qui rapporte les points

Utilise une phrase à deux étages : résultat du calcul, puis propriété. Par exemple : « On obtient $\vec u\cdot\vec n=0$. Comme $\vec u$ dirige $d$ et $\vec n$ est normal à $\mathcal P$, la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal P$. »

Pour replacer ce chapitre dans ta préparation, utilise aussi le guide général du bac de spécialité maths et planifie les autres notions à revoir.

Exercices corrigés de géométrie dans l’espace

Fais chaque exercice sans ouvrir le corrigé. Même si tu bloques, note l’objet, le vecteur utile et le test envisagé : c’est déjà le début de la méthode.

Maths Exercice 1 : coordonnées et alignement

On donne $A(1;-2;3)$, $B(4;0;-1)$ et $C(7;2;-5)$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

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$\overrightarrow{AB}=(4-1;0-(-2);-1-3)=(3;2;-4)$.

$\overrightarrow{AC}=(7-1;2-(-2);-5-3)=(6;4;-8)=2\overrightarrow{AB}$.

Les vecteurs sont colinéaires. Donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Compétence évaluée : calculer des coordonnées de vecteurs et prouver un alignement.

Maths Exercice 2 : droite paramétrée et appartenance

La droite $d$ passe par $A(2;-1;3)$ et a pour vecteur directeur $\vec u=(1;2;-1)$. Écris une représentation paramétrique de $d$, puis teste $P(4;3;1)$ et $Q(3;2;2)$.

Voir le corrigé

Une représentation est $x=2+t$, $y=-1+2t$, $z=3-t$, avec $t\in\mathbb R$.

Pour $P$, la première équation donne $t=2$. Les deux autres donnent alors $y=3$ et $z=1$. Donc $P\in d$.

Pour $Q$, la première équation donne $t=1$, mais la deuxième donnerait $y=1$ et non $2$. Il n’existe pas de paramètre commun : $Q\notin d$.

Compétence évaluée : traduire un point et un directeur, puis utiliser un paramètre commun.

Maths Exercice 3 : équation d’un plan

Détermine une équation du plan $\mathcal P$ passant par $A(1;0;-2)$ et de vecteur normal $\vec n=(3;-1;2)$. Vérifie si $B(0;1;0)$ appartient à $\mathcal P$.

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On écrit $3(x-1)-1(y-0)+2(z+2)=0$. En développant : $3x-y+2z+1=0$.

Pour $B$, $3\times0-1+2\times0+1=0$. Donc $B$ appartient au plan $\mathcal P$.

Compétence évaluée : construire une équation cartésienne à partir d’un point et d’une normale.

Maths Exercice 4 : intersection d’une droite et d’un plan

On donne $d: x=1+t$, $y=2-t$, $z=-1+2t$ et $\mathcal P:x+y+z-4=0$. Étudie leur position et trouve leur point d’intersection.

Voir le corrigé

Le directeur de $d$ est $\vec u=(1;-1;2)$ et une normale au plan est $\vec n=(1;1;1)$. Leur produit scalaire vaut $1-1+2=2$, non nul : la droite est sécante au plan.

On substitue : $(1+t)+(2-t)+(-1+2t)-4=0$, soit $2t-2=0$. Ainsi $t=1$.

Le point d’intersection est $I(2;1;1)$. Vérification : $2+1+1-4=0$.

Compétence évaluée : substituer une représentation paramétrique dans une équation de plan.

Maths Exercice 5 : projeté orthogonal et distance

Soit $\mathcal P:x+2y-2z+3=0$ et $A(2;1;4)$. Détermine le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal P$, puis la distance de $A$ au plan.

Voir le corrigé

Une normale au plan est $\vec n=(1;2;-2)$. La perpendiculaire passant par $A$ s’écrit $x=2+s$, $y=1+2s$, $z=4-2s$.

Dans le plan : $(2+s)+2(1+2s)-2(4-2s)+3=0$, donc $-1+9s=0$ et $s=\frac19$.

Ainsi $H\left(\frac{19}{9};\frac{11}{9};\frac{34}{9}\right)$. Comme $\lVert\vec n\rVert=3$, on a $AH=\left|\frac19\right|\times3=\frac13$.

La formule directe confirme : $d(A,\mathcal P)=\frac{|2+2-8+3|}{3}=\frac13$.

Compétence évaluée : construire une perpendiculaire au plan et calculer une distance exacte.

Maths Exercice 6 : problème mixte type bac

On donne $A(1;0;1)$, $B(3;1;0)$ et $C(0;2;2)$. On pose $\vec n=(3;-1;5)$. La droite $d$ passe par $D(4;0;0)$ et a pour directeur $\vec u=(1;2;-1)$.

1. Montre que $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$.
2. Détermine une équation de $(ABC)$.
3. Montre que $d$ est sécante au plan et trouve l’intersection.
4. Calcule la distance de $D$ au plan.

Voir le corrigé

$\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)$ et $\overrightarrow{AC}=(-1;2;1)$. On calcule $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=6-1-5=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-3-2+5=0$. Les deux directions du plan sont orthogonales à $\vec n$, donc $\vec n$ est normal à $(ABC)$.

Avec le point $A$, une équation est $3(x-1)-y+5(z-1)=0$, soit $3x-y+5z-8=0$.

Le produit $\vec u\cdot\vec n=3-2-5=-4$ est non nul, donc $d$ est sécante au plan. Sa représentation est $x=4+t$, $y=2t$, $z=-t$. La substitution donne $3(4+t)-2t-5t-8=0$, donc $4-4t=0$ et $t=1$. L’intersection est $E(5;2;-1)$.

Enfin, $d(D,(ABC))=\dfrac{|3\times4-0+5\times0-8|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+5^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{35}}$.

Compétence évaluée : enchaîner orthogonalité, équation de plan, intersection et distance.

Pour t’entraîner sur des sujets complets, consulte aussi la méthode pour travailler les annales de maths corrigées.

Les erreurs fréquentes à éviter

Vecteur directeur ou vecteur normal ?

Paramètres et conclusions incomplètes

• Utilise deux lettres différentes pour deux droites, par exemple $t$ et $s$.
• Pour l’appartenance à une droite, exige la même valeur du paramètre dans les trois coordonnées.
• Après une substitution, reporte le paramètre trouvé dans les trois équations.
• Vérifie le point final dans l’équation du plan.
• Ne confonds pas « vecteurs directeurs non colinéaires » avec « droites sécantes » : dans l’espace, elles peuvent être non coplanaires.

Ton dernier contrôle tient en trois questions : ai-je nommé les vecteurs ? ai-je vérifié le point obtenu ? ai-je formulé la propriété géométrique exacte ?

Questions fréquentes