Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$, où $BC$ est l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit.
Si ça te paraît abstrait dit comme ça, pas de panique : c'est l'une des notions les plus utiles de tout le collège, et une fois la méthode comprise, tu ne perds plus jamais de points dessus. Le théorème de Pythagore tombe presque chaque année au Brevet, souvent couplé à Thalès ou à la trigonométrie. Ici, on va voir la formule, comment calculer un côté, comment prouver qu'un triangle est rectangle, et surtout comment rédiger pour rafler tous les points au barème. C'est parti.
📌 À Retenir
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Formule clé : si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$. L'hypoténuse ($BC$) est toujours le plus grand côté, celui qui fait face à l'angle droit. Tout le reste du chapitre découle de cette seule égalité.
Le théorème de Pythagore, c'est quoi exactement ?
Le théorème de Pythagore est une règle qui ne fonctionne que dans un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle qui possède un angle droit (un angle de $90°$). Il met en relation les longueurs des trois côtés : si tu en connais deux, il te donne toujours le troisième.
Concrètement, il sert à deux choses au collège. D'abord à calculer une longueur manquante quand tu sais déjà que le triangle est rectangle. Ensuite, dans l'autre sens (avec sa réciproque), à vérifier qu'un triangle est rectangle ou non. Ce sont deux usages différents qu'on va bien séparer, parce que c'est exactement là que la plupart des élèves se trompent.
Petit repère historique au passage : ce résultat porte le nom de Pythagore, un mathématicien grec du VIᵉ siècle avant J.-C., même s'il était déjà connu bien avant lui (chez les Babyloniens notamment). On le découvre en classe de 4ème, et on le maîtrise vraiment en 3ème, où il devient un grand classique du Brevet.
La formule de Pythagore et le vocabulaire à connaître
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut être au carré sur un mot : l'hypoténuse. C'est lui qui fait perdre le plus de points, alors prenons trente secondes dessus.
L'hypoténuse, le côté à repérer en premier
L'hypoténuse, c'est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi, et c'est un bon moyen de le retrouver, le plus long côté du triangle rectangle. Les deux autres côtés, ceux qui forment l'angle droit, s'appellent les côtés de l'angle droit (parfois appelés « cathètes » au Québec, mais au Brevet français on dit côtés de l'angle droit).
La règle d'or : dans la formule, l'hypoténuse est toujours seule d'un côté du signe égal, et les deux côtés de l'angle droit sont ensemble de l'autre.
Écrire la formule sans se tromper
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$ (le côté qui ne touche pas $A$). La formule s'écrit :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Tu reconnais peut-être l'écriture $a^2 + b^2 = c^2$ vue ailleurs : ici $c$ est l'hypoténuse, $a$ et $b$ les deux côtés de l'angle droit. C'est exactement la même chose, juste avec d'autres noms de côtés.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour ne jamais te tromper, repère d'abord où est l'angle droit. La lettre du sommet de l'angle droit (ici $A$) n'apparaît jamais dans le nom de l'hypoténuse. Donc si le triangle est rectangle en $A$, l'hypoténuse est $[BC]$ ; s'il est rectangle en $B$, l'hypoténuse est $[AC]$. Ce réflexe t'évite l'erreur n°1 du chapitre.
Comment calculer l'hypoténuse en 3 étapes
C'est le cas le plus simple : tu connais les deux côtés de l'angle droit et tu cherches l'hypoténuse. Voici la méthode qui marche à tous les coups.
- Identifie l'hypoténuse : repère l'angle droit, l'hypoténuse est le côté opposé (le plus long).
- Écris l'égalité de Pythagore : hypoténuse au carré = somme des carrés des deux autres côtés.
- Calcule les carrés, additionne, puis prends la racine carrée pour obtenir la longueur.
En formule, dès que tu cherches l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$. Exemple éclair avec $AB = 3$ et $AC = 4$ : $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Ce triangle $3$-$4$-$5$ est le plus célèbre de tous, garde-le en tête.
Comment calculer un côté de l'angle droit
Cette fois, tu connais l'hypoténuse et un seul côté de l'angle droit. Le piège classique, c'est d'additionner par habitude. Or quand le côté cherché n'est pas l'hypoténuse, on soustrait :
$$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$$
Exemple : dans un triangle rectangle en $A$ avec $BC = 13$ (l'hypoténuse) et $AC = 5$, on cherche $AB$. On calcule $AB = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. La logique reste la même : l'hypoténuse est seule d'un côté de l'égalité, donc pour isoler un autre côté, on la fait passer en soustrayant.
📌 À Retenir
On additionne les carrés pour trouver l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$. On soustrait les carrés pour trouver un côté de l'angle droit : $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$. Le sens de l'opération dépend uniquement de la longueur que tu cherches.
Direct, réciproque, contraposée : quand utiliser lequel ?
Voici le vrai point qui fait la différence au Brevet, et que la plupart des élèves confondent. Il existe trois formes du théorème, et chacune répond à une question différente. Garde ce tableau en tête, c'est lui qui te dit quelle phrase écrire le jour J.
Quelle forme du théorème selon ta question
| Ta question | Forme à utiliser | Ce que tu sais / ce que tu conclus |
|---|---|---|
| Calculer une longueur manquante | Théorème direct | Tu sais déjà que le triangle est rectangle, donc tu calcules un côté avec $BC^2 = AB^2 + AC^2$ |
| Prouver qu'un triangle EST rectangle | Réciproque | Tu connais les 3 côtés ; si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors il est rectangle en $A$ |
| Prouver qu'un triangle N'EST PAS rectangle | Contraposée | Tu connais les 3 côtés ; si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors il n'est pas rectangle |
La règle de tri est simple. On te demande une longueur ? C'est le théorème direct (et l'énoncé te précise que le triangle est rectangle). On te donne les trois côtés et on te demande si le triangle est rectangle ? C'est la réciproque (ou la contraposée si la réponse est non). Ne mélange jamais les deux : utiliser la réciproque pour calculer une longueur est une faute de raisonnement qui coûte cher.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Prouver qu'un triangle est rectangle (la réciproque)
La réciproque sert quand on te donne les trois longueurs et qu'on te demande si le triangle possède un angle droit. La méthode est mécanique et tient en trois temps.
📌 À Retenir
Réciproque : si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (avec $BC$ le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en $A$. Contraposée : si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.
La méthode pas à pas : (1) repère le plus grand côté, ce serait l'hypoténuse s'il y avait un angle droit ; (2) calcule séparément le carré du plus grand côté d'un côté, et la somme des carrés des deux autres de l'autre ; (3) compare. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle ; s'ils sont différents, il ne l'est pas.
Exemple avec un triangle de côtés $6$, $8$ et $10$. Le plus grand côté est $10$. On calcule d'un côté $10^2 = 100$, et de l'autre $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque, le triangle est rectangle (l'angle droit est face au côté de longueur $10$).
La rédaction au barème du Brevet
Au Brevet, ce ne sont pas seulement tes calculs qui rapportent des points : c'est aussi ta justification. Un bon résultat sans phrase de justification ne vaut souvent que la moitié des points. Voici la rédaction modèle, celle qui coche toutes les cases du barème. Pour réviser toutes les notions de l'épreuve dans le même esprit, suis mon guide de révision du brevet de maths.
💡 L'Astuce d'Inès
Apprends cette phrase par cœur, mot pour mot : « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$. » Tu cites le triangle, l'angle droit ET le nom du théorème. Ces trois éléments sont les points faciles que les correcteurs cherchent. Sans eux, même avec le bon nombre, tu perds des points de rédaction.
Le schéma de rédaction complet, étape par étape : tu énonces le théorème avec la phrase ci-dessus, tu remplaces par les valeurs connues, tu isoles l'inconnue, tu calcules, puis tu conclus par une phrase (« Donc $BC = 5$ cm. »). Pour la réciproque, on adapte : on calcule les deux membres séparément, on constate l'égalité, puis on écrit « D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. » Tu verras la version complète dans l'exercice 4 plus bas.
Les triplets pythagoriciens à reconnaître
Un triplet pythagoricien est un trio de nombres entiers qui vérifient pile la relation de Pythagore. Les reconnaître te fait gagner un temps fou : si tu vois ces longueurs, tu sais immédiatement que le triangle est rectangle, sans même poser le calcul.
- $(3, 4, 5)$ : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Le plus connu.
- $(6, 8, 10)$ : c'est le triplet $(3,4,5)$ multiplié par $2$ ; $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$.
- $(5, 12, 13)$ : $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
- $(8, 15, 17)$ : $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$.
Astuce : tout multiple d'un triplet pythagoricien en est un aussi. Donc $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ ou $(15,20,25)$ marchent tous, puisque ce sont des multiples de $(3,4,5)$.
Pythagore et la distance dans un repère orthonormé
Voici une application que peu de cours de collège montrent, et qui te servira énormément dès la seconde : calculer la distance entre deux points dans un repère. C'est tout simplement Pythagore appliqué dans le quadrillage.
Dans un repère orthonormé, la distance entre $A\,(x_A\,;\,y_A)$ et $B\,(x_B\,;\,y_B)$ vaut :
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
L'idée : l'écart horizontal et l'écart vertical entre les deux points forment les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle invisible, et la distance $AB$ en est l'hypoténuse. Tu retrouves donc bien $AB^2 = (\text{écart en } x)^2 + (\text{écart en } y)^2$. C'est exactement Pythagore, déguisé en géométrie repérée.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Se tromper d'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc le plus long. Si tu la mets du mauvais côté de l'égalité, tout le calcul est faux. Repère l'angle droit en premier, toujours.
2. Additionner au lieu de soustraire (ou l'inverse). On additionne les carrés pour trouver l'hypoténuse, on soustrait pour trouver un côté de l'angle droit. Demande-toi à chaque fois : « est-ce que je cherche le plus grand côté ou pas ? »
3. Oublier la racine carrée ou la justification. Pythagore te donne d'abord le côté au carré : n'oublie pas de prendre la racine à la fin. Et au Brevet, pas de phrase de justification = points de rédaction perdus, même avec le bon résultat.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : calculer l'hypoténuse
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse $BC$.
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Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $BC = \sqrt{25} = 5$. La longueur $BC$ est égale à $5$ cm.
Compétence évaluée : appliquer le théorème direct pour trouver l'hypoténuse.
Maths Exercice 2 : calculer un côté de l'angle droit
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 13$ cm et $AB = 5$ cm. Calcule la longueur $AC$.
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Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$. On isole le côté cherché : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Donc $AC = \sqrt{144} = 12$. La longueur $AC$ est égale à $12$ cm.
Compétence évaluée : isoler un côté de l'angle droit (soustraction des carrés).
Maths Exercice 3 : reconnaître un triplet
Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 8$ cm, $ST = 17$ cm et $RT = 15$ cm. Sans calculatrice, peux-tu dire rapidement s'il est rectangle ?
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On reconnaît le triplet pythagoricien $(8, 15, 17)$. Vérification : le plus grand côté est $ST = 17$, et $RS^2 + RT^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$. Les deux membres sont égaux, donc d'après la réciproque, le triangle $RST$ est rectangle en $R$.
Compétence évaluée : reconnaître un triplet pythagoricien et conclure.
Maths Exercice 4 : rédaction complète au barème du Brevet
Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm. Démontre, en rédigeant comme au Brevet, que ce triangle est rectangle et précise en quel sommet.
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Le plus grand côté est $[BC]$ (longueur $10$ cm) : ce serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle en $A$.
D'une part : $BC^2 = 10^2 = 100$.
D'autre part : $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
On constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Compétence évaluée : rédiger une démonstration justifiée avec la réciproque (barème Brevet).
Maths Exercice 5 : montrer qu'un triangle n'est PAS rectangle
Un triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 4$ cm, $EF = 6$ cm et $DF = 7$ cm. Est-il rectangle ?
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Le plus grand côté est $[DF]$ (longueur $7$ cm). D'une part : $DF^2 = 7^2 = 49$. D'autre part : $DE^2 + EF^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$. On constate que $49 \neq 52$, c'est-à-dire $DF^2 \neq DE^2 + EF^2$. Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle.
Compétence évaluée : appliquer la contraposée pour réfuter le caractère rectangle.
Maths Exercice 6 : distance dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, on place $A\,(1\,;\,2)$ et $B\,(4\,;\,6)$. Calcule la distance $AB$.
Voir le corrigé
On applique la formule de la distance, qui vient de Pythagore : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. La distance $AB$ est égale à $5$ unités.
Compétence évaluée : calculer une distance dans un repère (pont vers la 2nde).
La fiche récap : tout Pythagore en un coup d'œil
L'essentiel du théorème de Pythagore
- Théorème direct : triangle $ABC$ rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (calculer une longueur).
- Hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ (on additionne).
- Côté de l'angle droit : $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$ (on soustrait).
- Réciproque : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors rectangle en $A$ (prouver un angle droit).
- Contraposée : si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors pas rectangle.
- Triplets à connaître : $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(6,8,10)$, $(8,15,17)$.
- Distance en repère : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur le théorème de Pythagore
Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, la formule s'écrit $BC^2 = AB^2 + AC^2$, où $BC$ est l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit.
Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Tu additionnes les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis tu prends la racine carrée du résultat : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$. Par exemple avec des côtés de $3$ et $4$, on obtient $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème direct sert à calculer une longueur quand tu sais déjà que le triangle est rectangle. La réciproque sert au contraire à prouver qu'un triangle est rectangle quand tu connais ses trois côtés. On utilise le direct pour une longueur, la réciproque pour démontrer un angle droit.
Qu'est-ce que la contraposée du théorème de Pythagore ?
La contraposée sert à montrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Si, en connaissant les trois côtés, tu constates que $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ (le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres), alors le triangle n'est pas rectangle.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Tu repères le plus grand côté, tu calcules son carré d'un côté, et la somme des carrés des deux autres côtés de l'autre. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque). S'ils sont différents, il ne l'est pas (contraposée).
En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
On le découvre en classe de 4ème, et on le maîtrise en 3ème, où il devient un grand classique du Brevet. Il y tombe presque chaque année, souvent associé au théorème de Thalès ou à la trigonométrie dans un même exercice.