Faire glisser une figure, la faire tourner, l'agrandir : en géométrie, ces actions portent un nom précis, ce sont des transformations du plan. En 3ème, tu en connais déjà deux (les symétries), et tu en découvres trois nouvelles : la translation, la rotation et l'homothétie.
Bonne nouvelle : c'est un chapitre très visuel, et il rapporte des points au Brevet dès qu'on sait reconnaître chaque transformation et construire l'image d'une figure. La logique est toujours la même : on transforme un point à la fois, puis on relie les images dans le même ordre. Une fois que tu tiens cette idée, les cinq transformations se ressemblent beaucoup, et seules deux ou trois informations changent d'une transformation à l'autre (un axe, un centre, un angle, un rapport).
On va donc faire le tour ensemble : un rappel rapide sur les symétries, puis la translation, la rotation, l'homothétie (avec son centre et son rapport $k$), ce que chaque transformation conserve, et enfin la méthode pour construire une image. À chaque fois, je te donne un petit exemple chiffré à reproduire sur ton cahier et le réflexe à retenir. Le tout se termine par six exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Une transformation associe à chaque point du plan un nouveau point appelé son image. La translation fait glisser la figure, la rotation la fait tourner autour d'un centre, et l'homothétie l'agrandit ou la réduit à partir d'un centre. Les quatre premières (translation, symétries, rotation) gardent les longueurs intactes : ce sont des isométries. L'homothétie, elle, change les longueurs.
Rappels : symétrie axiale et symétrie centrale
Avant les nouveautés, deux transformations que tu connais déjà depuis la 6ème et la 5ème. La symétrie axiale est une transformation par rapport à un axe (une droite) : l'image, c'est le reflet de la figure dans un miroir posé le long de l'axe. Chaque point et son image sont à la même distance de l'axe, de part et d'autre, et le segment qui les relie est perpendiculaire à l'axe. Sur un repère, si l'axe est l'axe des abscisses, le point $A(3\,;\,2)$ a pour image $A'(3\,;\,-2)$ : on garde l'abscisse et on change le signe de l'ordonnée, comme un reflet dans l'eau.
La symétrie centrale, elle, se fait par rapport à un point appelé le centre. L'image d'un point $A$ par la symétrie de centre $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[AA']$. C'est exactement comme un demi-tour autour de $O$. Par exemple, par la symétrie de centre $O$ l'origine, le point $A(3\,;\,2)$ a pour image $A'(-3\,;\,-2)$ : on prend l'opposé des deux coordonnées, car $O$ doit tomber pile au milieu. L'intuition à garder : une symétrie centrale retourne la figure tête-bêche, alors qu'une symétrie axiale la renverse comme dans un miroir.
Pourquoi ces deux symétries gardent-elles les longueurs intactes ? Parce qu'elles déplacent les points sans jamais les rapprocher ni les éloigner les uns des autres : deux points qui étaient distants de $5$ cm le restent après transformation. La figure de départ et son image sont donc superposables, on pourrait découper l'une et la poser exactement sur l'autre.
La translation
Une translation fait glisser toute la figure dans une même direction, sur une même distance, sans la tourner ni la déformer. Imagine un escalator : chaque marche, chaque personne dessus, tout avance exactement de la même façon, dans le même sens. On décrit ce glissement par une flèche (un déplacement) qui indique trois choses à la fois : la direction, le sens et la longueur.
Si tu translates un point $A$, son image $A'$ se trouve au bout de la flèche partie de $A$. Sur un quadrillage, c'est très concret : si la translation déplace les points de $3$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut, alors $A(2\,;\,1)$ a pour image $A'(2+3\,;\,1+1) = A'(5\,;\,2)$. On ajoute le même déplacement à chaque point, sans exception.
Et comme tous les points suivent ce glissement identique, le quadrilatère $ABA'B'$ a une propriété simple : $[AA']$ et $[BB']$ sont parallèles et de même longueur. C'est aussi ce qui explique que les longueurs ne bougent pas : si $A$ et $B$ avancent du même déplacement, l'écart entre eux est inchangé, donc $A'B' = AB$. La figure de départ et son image sont identiques, juste déplacées : la translation conserve donc les longueurs, les angles et les aires. Le réflexe à retenir : une translation, ça glisse, ça ne tourne jamais.
La rotation
Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe. Pour la définir, il faut trois informations : un centre (le point autour duquel ça tourne), un angle (de combien de degrés on tourne) et un sens (horaire, comme les aiguilles d'une montre, ou anti-horaire). Pense à une grande roue de fête foraine : la cabine tourne, mais elle reste toujours à la même distance de l'axe central.
L'image d'un point $A$ par une rotation de centre $O$ reste justement à la même distance de $O$ : on a toujours $OA' = OA$. Le point ne file pas en ligne droite, il parcourt un arc de cercle de centre $O$. Prenons un exemple : un point $A$ situé à $3$ cm au-dessus du centre $O$, auquel on applique une rotation d'un quart de tour ($90^\circ$) dans le sens anti-horaire. Son image $A'$ se retrouve à $3$ cm de $O$ aussi, mais à gauche du centre cette fois, après avoir balayé un quart de cercle. La symétrie centrale est d'ailleurs un cas particulier de rotation : c'est exactement une rotation de $180^\circ$, un demi-tour.
Pourquoi les longueurs sont-elles conservées ? Parce que tous les points tournent ensemble, du même angle et autour du même centre : la figure pivote d'un seul bloc, comme une photo qu'on fait tourner sans la découper. Deux points gardent donc le même écart, et la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires. L'intuition à retenir : une rotation, ça tourne autour d'un point, et rien ne change à part l'orientation.
L'homothétie : centre et rapport k
L'homothétie est la transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point. Pour la définir, il faut deux choses : un centre $O$ et un rapport $k$ (un nombre). Le rapport $k$ est le coefficient d'agrandissement ou de réduction. C'est la même idée qu'un projecteur de cinéma : plus on éloigne l'écran de l'ampoule, plus l'image projetée est grande, mais elle garde exactement la même forme.
L'image d'un point $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point $A'$ situé sur la droite $(OA)$, tel que $OA' = |k| \times OA$. Prenons un exemple chiffré : un point $A$ à $4$ cm du centre $O$. Avec $k = 2$, l'image $A'$ est sur la demi-droite $[OA)$ à $2 \times 4 = 8$ cm de $O$, donc deux fois plus loin. Avec $k = \dfrac{1}{2}$, elle serait à $2$ cm de $O$, deux fois plus proche. Le signe de $k$ décide du côté : si $k$ est positif, l'image reste du même côté que le point par rapport à $O$ ; si $k$ est négatif (par exemple $k = -2$), elle passe de l'autre côté de $O$, et la figure se retrouve « retournée » tête-bêche.
Et pourquoi l'homothétie est-elle la seule à changer les longueurs ? Parce qu'elle ne déplace pas les points en bloc : elle les écarte du centre (ou les rapproche) chacun proportionnellement à sa distance. Deux points $A$ et $B$ voient donc l'écart entre eux multiplié lui aussi par $|k|$ : si $AB = 5$ cm et $k = 2$, alors $A'B' = 10$ cm. La figure obtenue a la même forme que l'originale (mêmes angles, droites parallèles préservées), mais pas la même taille : on parle d'une figure semblable. L'intuition à retenir : une homothétie zoome la figure sans la déformer, comme on agrandit une photo.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour savoir si une homothétie agrandit ou réduit, regarde seulement $|k|$ (la valeur de $k$ sans son signe). Si $|k| > 1$, la figure grandit ; si $|k| < 1$, elle rétrécit ; si $|k| = 1$, elle garde sa taille. C'est exactement le même principe que l'agrandissement-réduction et que le coefficient du théorème de Thalès : un coefficient supérieur à $1$ agrandit, inférieur à $1$ réduit.
Ce que chaque transformation conserve
C'est LA question qui revient au Brevet : qu'est-ce qui change et qu'est-ce qui reste pareil ? Quatre transformations gardent tout intact (ce sont les isométries), l'homothétie est la seule à modifier les tailles. Le tableau ci-dessous récapitule tout.
Ce que conserve chaque transformation
| Transformation | Définie par | Longueurs | Aires | Isométrie ? |
|---|---|---|---|---|
| Translation | un glissement (une flèche) | conservées | conservées | Oui |
| Symétrie axiale | un axe | conservées | conservées | Oui |
| Symétrie centrale | un centre | conservées | conservées | Oui |
| Rotation | un centre, un angle, un sens | conservées | conservées | Oui |
| Homothétie | un centre et un rapport $k$ | multipliées par $|k|$ | multipliées par $k^2$ | Non, sauf si $|k|=1$ |
Une remarque importante : toutes ces transformations conservent l'alignement des points, le parallélisme des droites et les angles. Une figure et son image ont donc toujours la même forme. Seule l'homothétie peut en changer la taille. Pour réviser ce chapitre avec tout le reste du programme, suis mon guide de révision du brevet de maths.
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En pratique, construire l'image d'une figure revient à construire l'image de chacun de ses sommets, puis à relier ces images dans le même ordre que la figure de départ. Inutile de traiter tous les points : les sommets suffisent, car les côtés se déduisent en reliant les images. Pour une translation, on reporte le même glissement sur chaque sommet (par exemple $3$ carreaux à droite et $1$ en haut pour chacun). Pour une rotation, on fait pivoter chaque sommet du même angle autour du centre, en s'aidant du compas pour garder la bonne distance.
L'homothétie demande un peu plus de méthode. Imagine un triangle $ABC$ et une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$, avec $OA = 2$ cm, $OB = 3$ cm et $OC = 4$ cm. Pour placer $A'$, on prolonge la demi-droite $[OA)$ et on mesure $2 \times 2 = 4$ cm depuis $O$ ; pour $B'$, on place le point à $2 \times 3 = 6$ cm sur $[OB)$ ; pour $C'$, à $2 \times 4 = 8$ cm sur $[OC)$. Voici la méthode complète, pas à pas.
Méthode : construire l'image par une homothétie de centre O et de rapport k
Trace la demi-droite d'origine $O$ qui passe par le point à transformer.
Mesure la distance entre $O$ et ce point.
Multiplie cette distance par $k$ (place l'image de l'autre côté de $O$ si $k < 0$).
Place l'image à cette distance, puis recommence pour chaque sommet de la figure.
Une fois tous les sommets placés, tu relies les images dans le même ordre que la figure de départ : tu obtiens l'agrandissement (ou la réduction) voulu. Cette logique de points homologues alignés avec un centre, c'est la même que dans la configuration de Pythagore et Thalès que tu travailles en parallèle.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Croire que l'homothétie est une isométrie. Elle ne l'est pas : elle change les longueurs (elles sont multipliées par $|k|$). C'est la seule transformation du chapitre à modifier les tailles, sauf le cas particulier $|k| = 1$ où la taille reste la même.
2. Multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$. Si les longueurs sont multipliées par $k$, l'aire, elle, est multipliée par $k^2$. Une homothétie de rapport $3$ rend la figure $3$ fois plus large mais $9$ fois plus grande en aire.
3. Oublier le signe de $k$. Quand $k < 0$, l'image se place de l'autre côté du centre, et la figure apparaît retournée. Beaucoup d'élèves la construisent du même côté : c'est faux dès que le rapport est négatif.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : reconnaître la transformation
Sur une figure, un triangle $ABC$ a pour image un triangle $A'B'C'$ de même taille, simplement décalé vers la droite : chaque point a glissé de la même façon, sans tourner. De quelle transformation s'agit-il ? Justifie.
Voir le corrigé
C'est une translation. La figure garde la même taille et la même orientation (elle ne tourne pas, ne se retourne pas), elle est seulement déplacée par un glissement identique pour tous les points. Les segments $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ sont parallèles et de même longueur, ce qui confirme la translation.
Compétence évaluée : reconnaître une transformation à partir d'une figure.
Maths Exercice 2 : image par une translation
On considère un point $A$. On applique la translation qui transforme un point en le déplaçant de $5$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le haut. Donne la position de l'image $A'$ par rapport à $A$.
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Tous les points suivent le même glissement. L'image $A'$ s'obtient donc à partir de $A$ en avançant de $5$ carreaux vers la droite, puis de $2$ carreaux vers le haut. Si $A$ a pour coordonnées $(1\,;\,1)$, alors $A'$ a pour coordonnées $(1 + 5\,;\,1 + 2) = (6\,;\,3)$.
Compétence évaluée : construire l'image d'un point par une translation.
Maths Exercice 3 : image par une rotation de 90°
Un point $A$ est situé à $4$ cm d'un centre $O$. On applique la rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$. À quelle distance de $O$ se trouve l'image $A'$, et quelle trajectoire $A$ a-t-il suivie ?
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La rotation conserve les distances au centre, donc $OA' = OA = 4$ cm : l'image reste à $4$ cm de $O$. Le point $A$ a parcouru un arc de cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm, sur un quart de tour ($90^\circ$). En pratique, on trace le cercle de centre $O$ passant par $A$, puis on mesure un angle de $90^\circ$ depuis $[OA]$ pour placer $A'$ dessus.
Compétence évaluée : construire l'image d'un point par une rotation.
Maths Exercice 4 : image par une homothétie de rapport k = 2
Un point $A$ est situé à $3$ cm d'un centre $O$. On applique l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$. Où se trouve l'image $A'$ ?
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L'image se trouve sur la demi-droite $[OA)$ (car $k = 2$ est positif, donc du même côté que $A$), à une distance $OA' = |k| \times OA = 2 \times 3 = 6$ cm de $O$. L'image $A'$ est donc sur la droite $(OA)$, à $6$ cm de $O$, du même côté que $A$ : elle est deux fois plus loin du centre.
Compétence évaluée : construire l'image d'un point par une homothétie.
Maths Exercice 5 : effet sur l'aire
Un rectangle a une aire de $12$ cm². On lui applique une homothétie de rapport $k = 3$. Quelle est l'aire de l'image ?
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Avec une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, mais l'aire est multipliée par $k^2$. Ici $k = 3$, donc l'aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$. L'aire de l'image vaut donc $12 \times 9 = 108$ cm². Attention à ne pas multiplier par $3$ : ce serait l'erreur classique.
Compétence évaluée : calculer l'effet d'une homothétie sur une aire.
Maths Exercice 6 : retrouver le centre et le rapport
Un point $A$ est à $4$ cm d'un point $O$. Son image $A'$ par une homothétie de centre $O$ est sur la demi-droite $[OA)$, à $8$ cm de $O$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
Voir le corrigé
Le rapport se trouve en comparant les distances au centre : $|k| = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{8}{4} = 2$. Comme $A'$ est du même côté que $A$ par rapport à $O$ (sur la même demi-droite), le rapport est positif : $k = 2$. L'homothétie a donc pour centre $O$ et pour rapport $k = 2$.
Compétence évaluée : déterminer le centre et le rapport d'une homothétie.
La fiche récap : tout sur les transformations
L'essentiel des transformations en 3ème
- Translation : un glissement (même direction, même distance) ; conserve longueurs, angles et aires.
- Symétrie axiale : un reflet par rapport à un axe ; isométrie.
- Symétrie centrale : un demi-tour autour d'un centre $O$ ($O$ est le milieu de $[AA']$) ; isométrie.
- Rotation : définie par un centre, un angle et un sens ; on a $OA' = OA$ ; isométrie.
- Homothétie : définie par un centre $O$ et un rapport $k$ ; $OA' = |k| \times OA$ ; change les tailles.
- Effets de l'homothétie : longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$ ; $|k| > 1$ agrandit, $|k| < 1$ réduit.
- Toujours conservés : alignement, parallélisme et angles, pour les cinq transformations.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur les transformations
Quelles sont les transformations au programme de 3ème ?
En 3ème, on étudie cinq transformations : la symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation, la rotation et l'homothétie. Les quatre premières conservent les longueurs ; l'homothétie agrandit ou réduit la figure.
C'est quoi une homothétie en 3ème ?
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre. Elle est définie par un centre $O$ et un rapport $k$. L'image d'un point $A$ est sur la droite $(OA)$, à une distance $|k|$ fois plus grande de $O$.
Comment construire l'image par une homothétie ?
On trace la demi-droite d'origine $O$ passant par le point, on mesure la distance entre $O$ et le point, on la multiplie par $k$ (de l'autre côté de $O$ si $k$ est négatif), puis on place l'image à cette distance. On recommence pour chaque sommet de la figure.
L'homothétie est-elle une isométrie ?
Non. Une homothétie change les longueurs (elles sont multipliées par $|k|$), donc ce n'est pas une isométrie, sauf dans le cas particulier où $|k| = 1$. La translation, les symétries et la rotation, elles, sont des isométries car elles conservent les longueurs.
Quelle différence entre translation et rotation ?
La translation fait glisser la figure dans une direction, sans la tourner. La rotation fait tourner la figure autour d'un centre, d'un certain angle et dans un certain sens. Les deux conservent les longueurs et les aires.
Comment l'homothétie modifie-t-elle l'aire d'une figure ?
Si le rapport est $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et l'aire est multipliée par $k$ au carré. Par exemple, avec un rapport de $3$, l'aire devient $9$ fois plus grande, pas seulement $3$ fois.
Une figure et son image ont-elles toujours la même forme ?
Oui. Les cinq transformations conservent l'alignement des points, le parallélisme des droites et les angles : la figure et son image ont donc toujours la même forme. Avec une translation, une symétrie ou une rotation, elles ont aussi la même taille. Avec une homothétie, la forme est gardée mais la taille change : la figure obtenue est une figure semblable, agrandie ou réduite.
Les transformations tombent-elles au Brevet ?
Oui, régulièrement. On demande souvent de reconnaître une transformation sur une figure, de construire une image, ou d'utiliser une homothétie pour un agrandissement. Ce sont des points accessibles quand les définitions et la méthode de construction sont connues.