La géométrie dans l'espace, c'est tout simplement la géométrie en trois dimensions : au lieu de figures plates, tu manipules des cubes, des cylindres, des cônes ou des boules. En 3ème, l'objectif numéro un de ce chapitre, c'est de savoir calculer un volume proprement, sans oublier ni une formule ni une unité.
Bonne nouvelle : ce sont des points faciles à prendre au Brevet, parce que tout repose sur quelques formules à connaître par cœur et une méthode toujours identique. Ici on va voir les solides et leurs volumes, les cas particuliers de la pyramide, du cône et de la boule, ce qui se passe quand on coupe un solide par un plan, et l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction. Le tout avec des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Le volume mesure la place qu'occupe un solide dans l'espace, et il s'exprime toujours dans une unité au cube (cm³, m³...). Pour la pyramide et le cône, on divise par $3$. Pour la boule, la formule est $\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$. Et le piège majeur du chapitre : si on multiplie les longueurs par $k$, le volume, lui, est multiplié par $k^3$.
Les solides et leurs volumes
Un solide est une figure de l'espace, c'est-à-dire en trois dimensions. Certains ont des faces planes, comme le cube, le pavé droit (la boîte à chaussures) ou le prisme. D'autres ont une surface courbe, comme le cylindre, le cône ou la boule. Chacun a sa propre formule de volume.
L'idée à garder en tête, c'est que beaucoup de formules se ressemblent : pour le pavé, le cylindre et le prisme, on multiplie une aire de base par une hauteur. Pour la pyramide et le cône, c'est la même chose, divisé par $3$. Le tableau suivant rassemble tout ce qu'il faut connaître pour l'examen.
Les formules de volumes à connaître au Brevet
| Solide | Formule du volume | À ne pas oublier |
|---|---|---|
| Cube | $a^3$ | $a$ est l'arête ; le résultat est en unité au cube |
| Pavé droit | $L \times l \times h$ | les trois dimensions dans la même unité |
| Cylindre | $\pi \times r^2 \times h$ | $r$ est le rayon de la base, pas le diamètre |
| Prisme droit | aire de base $\times$ hauteur | calculer d'abord l'aire de la base |
| Pyramide | $\dfrac{\text{aire de base} \times h}{3}$ | ne pas oublier le $\div 3$ |
| Cône | $\dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$ | le $\div 3$ aussi, comme la pyramide |
| Boule | $\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ | c'est $r^3$, le rayon au cube |
Pas besoin d'apprendre sept formules sans aucun lien : repère plutôt les familles. Pavé, cylindre et prisme suivent la logique « base fois hauteur ». Pyramide et cône reprennent cette logique avec un $\div 3$. Seule la boule fait bande à part, avec son $\dfrac{4}{3}$ et son rayon au cube. La géométrie dans l'espace fait partie des chapitres qui rapportent au Brevet : pour réviser tout le programme dans l'ordre, suis mon guide de révision du brevet de maths.
La méthode pour calculer un volume
Quel que soit le solide, le calcul d'un volume suit toujours les mêmes étapes. Si tu les appliques dans l'ordre, tu ne te trompes pas, et tu gagnes les points de rédaction qui comptent au Brevet.
Méthode : calculer un volume en 4 étapes
- Identifier le solide. Cube, cylindre, cône, boule... Reconnaître la forme te dit quelle formule utiliser.
- Écrire la bonne formule. Recopie d'abord la formule littérale (par exemple $V = \pi \times r^2 \times h$) avant tout calcul.
- Remplacer par les valeurs. Mets les nombres à la place des lettres, en vérifiant que toutes les longueurs sont dans la même unité.
- Conclure avec l'unité au cube. Donne le résultat, arrondi si besoin, sans jamais oublier l'unité (cm³, m³...).
Cette méthode marche pour tous les solides du programme. La seule chose qui change d'un exercice à l'autre, c'est la formule de l'étape 2.
Le volume d'une pyramide
Une pyramide a une base polygonale (un carré, un rectangle, un triangle...) et un sommet relié à tous les coins de la base. Son volume vaut l'aire de la base multipliée par la hauteur, le tout divisé par $3$ : $V = \dfrac{\text{aire de base} \times h}{3}$.
Exemple : une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de $10$ cm. L'aire de la base est $6 \times 6 = 36$ cm². Le volume vaut donc $V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120$ cm³. La hauteur, c'est la distance entre le sommet et la base, mesurée perpendiculairement : attention à ne pas la confondre avec une arête. Certains sujets te donnent une arête plutôt que la hauteur, et il faut alors retrouver cette hauteur grâce au théorème de Pythagore dans un triangle rectangle bien choisi.
💡 L'Astuce d'Inès
Le $\div 3$ de la pyramide et du cône n'est pas là par hasard. Une pyramide a exactement le tiers du volume du prisme qui aurait la même base et la même hauteur. Pareil pour le cône face au cylindre. Retiens cette image : il faut trois cônes remplis pour remplir le cylindre de même base et même hauteur. C'est le moyen le plus simple de ne jamais oublier le $\div 3$.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Le volume d'un cône
Le cône de révolution, c'est comme un cylindre dont on aurait remplacé le couvercle par une pointe. Sa base est un disque de rayon $r$, et son volume vaut l'aire du disque de base multipliée par la hauteur, divisée par $3$ : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$.
Exemple : un cône a un rayon de base $r = 2$ cm et une hauteur $h = 6$ cm. On applique la formule : $V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 6}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 6}{3} = \dfrac{24\pi}{3} = 8\pi \approx 25{,}1$ cm³. Comme pour la pyramide, le piège classique est d'oublier le $\div 3$, ce qui donnerait un résultat trois fois trop grand.
Le volume d'une boule
La boule est le solide plein délimité par une sphère (la sphère, c'est la surface ; la boule, c'est tout l'intérieur rempli). Son volume ne dépend que du rayon $r$, et vaut $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
Exemple : pour une boule de rayon $r = 3$ cm, on a $r^3 = 3^3 = 27$, donc $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = \dfrac{4 \times 27}{3} \times \pi = 36\pi \approx 113{,}1$ cm³. Le point délicat ici, c'est de bien élever le rayon au cube (et non au carré), et de ne pas confondre rayon et diamètre : si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par $2$ avant de l'utiliser.
Les sections de solides par un plan
Quand on coupe un solide par un plan, on obtient une figure plate appelée section. Au Brevet, on demande surtout de reconnaître la forme de cette section et parfois de calculer ses dimensions. Pas besoin de calculs compliqués : il s'agit de bien visualiser la coupe.
Quelques cas à connaître. Si on coupe un pavé droit ou un cube par un plan parallèle à une face, la section est un rectangle (ou un carré) identique à cette face. Si on coupe un cylindre par un plan parallèle à sa base, la section est un disque de même rayon que la base ; par un plan parallèle à son axe, on obtient un rectangle. Si on coupe une sphère par un plan, la section est toujours un cercle (le plus grand cercle possible passe par le centre). Le réflexe : repérer si le plan est parallèle à la base, à une face ou à l'axe, car c'est ça qui détermine la forme.
Agrandissement et réduction
Agrandir ou réduire un solide, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre $k$ appelé coefficient (ou rapport) d'agrandissement. Si $k > 1$, on agrandit ; si $0 < k < 1$, on réduit. Le point capital de ce chapitre, c'est que les longueurs, les aires et les volumes ne sont pas multipliés par le même coefficient.
Voici la règle à connaître absolument. Quand on multiplie les longueurs par $k$ : les aires sont multipliées par $k^2$, et les volumes par $k^3$. Par exemple, si tu doubles toutes les longueurs d'un solide ($k = 2$), son aire est multipliée par $2^2 = 4$ et son volume par $2^3 = 8$. Un solide deux fois plus grand a donc un volume huit fois plus important : ça surprend toujours, mais c'est mathématiquement exact. Ce coefficient $k$ est le même que celui des configurations d'agrandissement vues avec le théorème de Thalès, sauf qu'ici on l'applique à des solides.
Piège à éviter
1. Oublier l'unité au cube. Un volume s'exprime toujours en unité au cube : cm³, m³, dm³... Écrire un volume en cm² ou sans unité coûte des points à chaque fois.
2. Croire que doubler les longueurs double le volume. Faux. Si on multiplie les longueurs par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$ et le volume par $k^3$. Donc $\times 2$ sur les longueurs donne un volume $\times 8$, pas $\times 2$.
3. Oublier le $\div 3$ pour la pyramide et le cône. Sans le $\div 3$, ton résultat est trois fois trop grand. Recopie toujours la formule complète avant de calculer.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : volume d'un pavé droit
Calcule le volume d'un pavé droit de dimensions $L = 8$ cm, $l = 5$ cm et $h = 3$ cm.
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On applique la formule du pavé droit : $V = L \times l \times h = 8 \times 5 \times 3 = 120$ cm³.
Compétence évaluée : calculer le volume d'un pavé droit.
Maths Exercice 2 : volume d'une boule
Calcule le volume d'une boule de rayon $3$ cm. Donne la valeur exacte en fonction de $\pi$, puis une valeur arrondie au dixième.
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On applique la formule de la boule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi$ cm³. La valeur arrondie au dixième est $36\pi \approx 113{,}1$ cm³.
Compétence évaluée : calculer le volume d'une boule.
Maths Exercice 3 : volume d'un cône
Un cône a un rayon de base $r = 2$ cm et une hauteur $h = 6$ cm. Calcule son volume, en valeur exacte puis arrondi au dixième.
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On applique la formule du cône : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 6}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 6}{3} = \dfrac{24\pi}{3} = 8\pi$ cm³, soit $8\pi \approx 25{,}1$ cm³.
Compétence évaluée : calculer le volume d'un cône en pensant au $\div 3$.
Maths Exercice 4 : agrandissement et volume
Une boîte cubique a un volume de $50$ cm³. On l'agrandit en multipliant toutes ses longueurs par $2$. Quel est le volume de la nouvelle boîte ?
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Le coefficient d'agrandissement est $k = 2$. Le volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$. Le nouveau volume vaut donc $50 \times 8 = 400$ cm³.
Compétence évaluée : connaître l'effet d'un agrandissement sur un volume ($\times k^3$).
Maths Exercice 5 : section d'un solide
On coupe un cylindre de rayon $4$ cm par un plan parallèle à sa base. Quelle est la nature de la section obtenue, et quelle est sa dimension ?
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Quand on coupe un cylindre par un plan parallèle à sa base, la section est un disque identique à la base. Ce disque a donc le même rayon que le cylindre, soit $4$ cm.
Compétence évaluée : reconnaître la section d'un solide par un plan.
Maths Exercice 6 : problème multi-étapes
Un réservoir est formé d'un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $5$ m, surmonté d'un cône de même rayon $2$ m et de hauteur $3$ m. Calcule le volume total du réservoir (valeur exacte en fonction de $\pi$, puis arrondie au dixième).
Voir le corrigé
Volume du cylindre : $V_1 = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi$ m³. Volume du cône : $V_2 = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 3}{3} = \dfrac{12\pi}{3} = 4\pi$ m³. Volume total : $V = 20\pi + 4\pi = 24\pi \approx 75{,}4$ m³.
Compétence évaluée : additionner les volumes de deux solides dans un problème.
Se repérer sur la sphère terrestre
La Terre étant assimilée à une sphère, on repère un point à sa surface avec deux nombres, comme sur une carte. La latitude indique la position vers le nord ou le sud par rapport à l'équateur (de $0°$ à $90°$). La longitude indique la position vers l'est ou l'ouest par rapport au méridien de Greenwich (de $0°$ à $180°$).
Ce couple (latitude ; longitude) donne les coordonnées géographiques d'un lieu, un peu comme un repère sur le globe. C'est une application directe de la géométrie de la sphère : un sujet de Brevet peut te demander de lire ou de placer un point à partir de sa latitude et de sa longitude.
La fiche récap : tout sur les volumes en 3ème
L'essentiel de la géométrie dans l'espace
- Pavé droit : $V = L \times l \times h$, avec les trois dimensions dans la même unité.
- Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$, où $r$ est le rayon de la base.
- Pyramide et cône : aire de base fois hauteur, le tout divisé par $3$ (ne jamais oublier le $\div 3$).
- Boule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$, avec le rayon au cube.
- Unité : un volume s'exprime toujours en unité au cube (cm³, m³...).
- Agrandissement de coefficient $k$ : les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
- Section : couper un solide par un plan donne une figure plate (rectangle, disque, cercle) selon l'orientation du plan.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur les volumes en 3ème
Comment calculer le volume d'une boule ?
Le volume d'une boule est $\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$, où $r$ est le rayon. Par exemple, pour un rayon de $3$ cm, le volume vaut $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113{,}1$ cm³. Attention à bien élever le rayon au cube.
Quelle est la formule du volume d'un cône ?
Le volume d'un cône est $\dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$ : on calcule l'aire du disque de base, on multiplie par la hauteur, puis on divise par $3$. Le $\div 3$ est l'erreur classique à ne pas oublier.
Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?
Le volume d'une pyramide est l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, le tout divisé par $3$ : $V = \dfrac{\text{aire de base} \times h}{3}$. Comme le cône, elle vaut le tiers du prisme de même base et même hauteur.
Si on multiplie les longueurs par 2, que devient le volume ?
Le volume est multiplié par $2^3 = 8$. De façon générale, quand on multiplie les longueurs par un coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Doubler les longueurs multiplie donc le volume par huit.
Quelle est la nature de la section d'une sphère par un plan ?
La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle. Ce cercle est d'autant plus grand que le plan passe près du centre : le plus grand cercle possible est obtenu quand le plan passe exactement par le centre de la sphère.
Dans quelle unité exprime-t-on un volume ?
Un volume s'exprime toujours dans une unité au cube : cm³, dm³, m³... Oublier l'unité ou la mettre au carré est une erreur fréquente qui coûte des points au Brevet.
La géométrie dans l'espace tombe-t-elle au Brevet ?
Oui, très régulièrement. On demande souvent de calculer le volume d'un solide, de reconnaître une section ou d'appliquer un agrandissement. Ce sont des points faciles dès que les formules et la méthode sont connues.