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L'arithmétique, c'est la partie des maths qui s'intéresse aux nombres entiers : leurs diviseurs, leurs multiples, et la façon dont on peut les « casser » en briques de base. En 3ème, deux grandes idées reviennent au Brevet : les nombres premiers et le PGCD (le plus grand diviseur commun à deux nombres).
C'est un chapitre très logique, où chaque méthode s'enchaîne avec la suivante. Ici on va voir les diviseurs et les critères de divisibilité, les nombres premiers et comment les reconnaître, la décomposition en facteurs premiers, les trois méthodes pour calculer un PGCD, ce que veut dire « premiers entre eux », et enfin comment rendre une fraction irréductible. Le tout avec des exercices corrigés type Brevet. C'est parti.
📌 À Retenir
Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même (attention, $1$ n'est pas premier). Le PGCD de deux nombres est le plus grand entier qui les divise tous les deux à la fois. Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut $1$, et c'est exactement ce qui rend une fraction irréductible.
Diviseurs, multiples et critères de divisibilité
On dit qu'un entier $a$ est un diviseur de $b$ lorsque la division de $b$ par $a$ tombe juste, c'est-à-dire que le reste est égal à $0$. On dit aussi alors que $b$ est un multiple de $a$. Par exemple, $4$ est un diviseur de $12$ car $12 = 4 \times 3$, et du coup $12$ est un multiple de $4$.
Pour repérer rapidement certains diviseurs, on utilise les critères de divisibilité. Un nombre est divisible par $2$ s'il se termine par $0, 2, 4, 6$ ou $8$. Par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$. Par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$. Par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$. Ces critères servent à tout : tester un nombre, décomposer plus vite, simplifier des fractions.
💡 L'Astuce d'Inès
Pour le critère par $3$, tu additionnes simplement les chiffres. Exemple : $4\,278$ donne $4 + 2 + 7 + 8 = 21$, et $21$ est un multiple de $3$, donc $4\,278$ est divisible par $3$. Même technique pour $9$. C'est beaucoup plus rapide que de poser la division, et ça te débloque souvent la décomposition d'un grand nombre.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$, et ainsi de suite. Le $2$ est le seul nombre premier pair : tous les autres pairs sont divisibles par $2$, donc ils ont au moins trois diviseurs.
Voici la liste des nombres premiers jusqu'à $100$, utile à connaître pour le Brevet : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$.
Pour tester si un nombre $n$ est premier, pas besoin d'essayer tous les diviseurs possibles. Il suffit de tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{n}$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier. Par exemple, pour $97$ on a $\sqrt{97} \approx 9{,}8$, donc on teste seulement $2, 3, 5, 7$ : aucun ne divise $97$, il est donc premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre près). C'est ce qu'on appelle la décomposition en facteurs premiers. Pour l'obtenir, on divise le nombre par le plus petit premier possible, encore et encore, jusqu'à arriver à $1$.
Exemple avec $60$. Il est pair, donc $60 = 2 \times 30$. Puis $30 = 2 \times 15$. Ensuite $15 = 3 \times 5$, et $5$ est premier. On rassemble : $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$. On utilise les puissances pour regrouper les facteurs identiques. Cette décomposition est la clé de presque tout le reste du chapitre, notamment le calcul du PGCD.
Le PGCD et ses 3 méthodes
Le PGCD de deux entiers, c'est le Plus Grand Commun Diviseur : le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Il existe trois méthodes pour le calculer, et le tableau ci-dessous les applique toutes les trois sur le même exemple, $\text{PGCD}(60\,;48)$, pour que tu voies bien qu'elles donnent le même résultat.
Les 3 méthodes pour calculer un PGCD
| Méthode | Comment on fait | Sur l'exemple PGCD(60 ;48) |
|---|---|---|
| Liste des diviseurs communs | on écrit les diviseurs de chaque nombre, on garde les communs, on prend le plus grand | diviseurs communs : $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ; le plus grand est $12$ |
| Décomposition en facteurs premiers | on décompose chaque nombre, puis on multiplie les facteurs communs avec le plus petit exposant | $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, $48 = 2^4 \times 3$, donc $2^2 \times 3 = 12$ |
| Algorithme d'Euclide | on enchaîne les divisions et le PGCD est le dernier reste non nul | $60 = 48 \times 1 + 12$ ; $48 = 12 \times 4 + 0$, dernier reste non nul : $12$ |
Les trois donnent $12$, c'est rassurant. La méthode des diviseurs est intuitive mais lente sur de grands nombres. La décomposition est efficace si tu décomposes vite. L'algorithme d'Euclide est le plus rapide et le plus sûr pour de grands nombres : c'est celui que je détaille juste après.
Méthode : l'algorithme d'Euclide en 4 étapes
- Divise le grand nombre par le petit et note le reste de cette division euclidienne.
- Recommence en divisant l'ancien diviseur par le reste que tu viens de trouver.
- Continue à enchaîner les divisions jusqu'à obtenir un reste égal à $0$.
- Le PGCD est le dernier reste non nul, c'est-à-dire le diviseur de la division qui est tombée juste.
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Voir le Pack Brevet Complet ›Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à $1$, autrement dit quand leur seul diviseur commun est $1$. Attention : cela ne veut pas dire que les deux nombres sont eux-mêmes des nombres premiers, c'est une confusion très fréquente.
Exemple : $8$ et $15$ sont premiers entre eux. Pourtant ni $8$ ni $15$ ne sont des nombres premiers ($8 = 2^3$ et $15 = 3 \times 5$). Mais ils n'ont aucun facteur premier en commun, donc leur PGCD vaut $1$. À l'inverse, $12$ et $18$ ne sont pas premiers entre eux, car ils partagent le diviseur $6$ (leur PGCD est $6$).
Rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. C'est ici que le PGCD devient super utile. La méthode la plus rapide : on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD en une seule fois.
Exemple : la fraction $\dfrac{36}{48}$. Le PGCD de $36$ et $48$ est $12$. On divise donc en haut et en bas par $12$ : $\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}$. La fraction $\dfrac{3}{4}$ est irréductible car $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Diviser directement par le PGCD évite de simplifier en plusieurs étapes. Si tu veux solidifier le calcul derrière tout ça, jette un œil à mon cours sur le calcul littéral en 3ème, et pour réviser tout le programme suis mon guide de révision du brevet de maths.
Les 3 pièges qui coûtent des points
Piège à éviter
1. Confondre PGCD et PPCM. Le PGCD est le plus grand diviseur commun (un nombre plus petit ou égal aux deux). Le PPCM est le plus petit multiple commun (un nombre plus grand ou égal aux deux). Au Brevet, c'est le PGCD qui sert à simplifier les fractions.
2. Croire que $1$ est un nombre premier. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), or un nombre premier en a exactement deux. Donc $1$ n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est $2$.
3. Confondre « premiers entre eux » et « nombres premiers ». « Premiers entre eux » veut dire PGCD égal à $1$, pas que les deux nombres sont premiers. $8$ et $15$ sont premiers entre eux sans être des nombres premiers.
Exercices corrigés type Brevet
Maths Exercice 1 : lister les diviseurs
Donne la liste de tous les diviseurs de $36$.
Voir le corrigé
On cherche les nombres qui divisent $36$ en formant les paires de produits : $1 \times 36$, $2 \times 18$, $3 \times 12$, $4 \times 9$, $6 \times 6$. Les diviseurs de $36$ sont donc : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.
Compétence évaluée : déterminer tous les diviseurs d'un entier.
Maths Exercice 2 : tester si un nombre est premier
Le nombre $91$ est-il un nombre premier ? Justifie ta réponse.
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On a $\sqrt{91} \approx 9{,}5$, donc on teste les diviseurs premiers $2, 3, 5, 7$. Il n'est pas divisible par $2, 3$ ni $5$. Mais $91 = 7 \times 13$, donc $7$ le divise. $91$ a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même : il n'est pas premier.
Compétence évaluée : tester la primalité avec le critère du $\sqrt{n}$.
Maths Exercice 3 : décomposer en facteurs premiers
Décompose $360$ en produit de facteurs premiers.
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On divise par les premiers successifs : $360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45$. Puis $45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5$. On rassemble : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$. (Vérification : $8 \times 9 \times 5 = 360$.)
Compétence évaluée : décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
Maths Exercice 4 : PGCD par l'algorithme d'Euclide
Calcule $\text{PGCD}(182\,;78)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
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Première division : $182 = 78 \times 2 + 26$. On recommence avec $78$ et $26$ : $78 = 26 \times 3 + 0$. Le reste est $0$, le dernier reste non nul est $26$. Donc $\text{PGCD}(182\,;78) = 26$.
Compétence évaluée : appliquer l'algorithme d'Euclide.
Maths Exercice 5 : rendre une fraction irréductible
Rends la fraction $\dfrac{48}{60}$ irréductible.
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On calcule le PGCD de $48$ et $60$. Avec Euclide : $60 = 48 \times 1 + 12$ puis $48 = 12 \times 4 + 0$, donc $\text{PGCD}(48\,;60) = 12$. On divise en haut et en bas par $12$ : $\dfrac{48}{60} = \dfrac{48 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{4}{5}$. La fraction $\dfrac{4}{5}$ est irréductible.
Compétence évaluée : simplifier une fraction grâce au PGCD.
Maths Exercice 6 : un problème concret de paquets
Un pâtissier dispose de $24$ macarons et $36$ chocolats. Il veut faire des paquets identiques, en utilisant tous les macarons et tous les chocolats. Quel est le plus grand nombre de paquets possible ? Que contient alors chaque paquet ?
Voir le corrigé
Le nombre de paquets doit diviser à la fois $24$ et $36$ : on cherche donc leur PGCD. Décomposition : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$, donc $\text{PGCD}(24\,;36) = 2^2 \times 3 = 12$. On peut faire au maximum $12$ paquets. Chaque paquet contient alors $24 \div 12 = 2$ macarons et $36 \div 12 = 3$ chocolats.
Compétence évaluée : modéliser un problème de partage avec le PGCD.
La fiche récap : tout sur l'arithmétique
L'essentiel de l'arithmétique en 3ème
- Diviseur : $a$ divise $b$ si la division tombe juste (reste $0$) ; $b$ est alors un multiple de $a$.
- Critères de divisibilité : par $2$ (chiffre final pair), par $5$ ($0$ ou $5$), par $3$ et $9$ (somme des chiffres).
- Nombre premier : exactement deux diviseurs ($1$ et lui-même) ; $1$ n'est pas premier, $2$ est le plus petit.
- Test de primalité : tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{n}$.
- Décomposition : écrire l'entier comme un produit de facteurs premiers, avec des puissances.
- PGCD : plus grand diviseur commun ; trois méthodes (diviseurs, décomposition, Euclide).
- Premiers entre eux : PGCD égal à $1$ (et non « les deux sont premiers »).
- Fraction irréductible : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
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Découvrir le Pack Brevet Complet ›Questions fréquentes sur l'arithmétique
C'est quoi un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Le nombre $1$ n'est pas premier.
Comment savoir si un nombre est premier ?
On teste les diviseurs premiers jusqu'à la racine carrée du nombre. Si aucun ne le divise, il est premier. Par exemple, pour $97$ on teste $2, 3, 5, 7$ : aucun ne divise, donc $97$ est premier.
C'est quoi le PGCD et comment le calculer ?
Le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres. On peut le calculer en listant les diviseurs communs, en décomposant en facteurs premiers, ou avec l'algorithme d'Euclide, qui est la méthode la plus rapide.
Comment marche l'algorithme d'Euclide ?
On divise le grand nombre par le petit et on note le reste. On recommence en divisant l'ancien diviseur par ce reste, jusqu'à obtenir un reste de zéro. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Que veut dire premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD est égal à $1$, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun diviseur commun à part $1$. Cela ne signifie pas que chacun des deux nombres est lui-même un nombre premier.
Comment rendre une fraction irréductible ?
On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD. La fraction obtenue est irréductible car numérateur et dénominateur sont alors premiers entre eux. Par exemple, $\dfrac{48}{60}$ devient $\dfrac{4}{5}$.
L'arithmétique tombe-t-elle au Brevet ?
Oui, très souvent. On demande de calculer un PGCD, de décomposer un nombre ou de simplifier une fraction, parfois dans un problème concret de partage en paquets. Ce sont des points faciles quand les méthodes sont maîtrisées.