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Tu révises tes fonctions, ton second degré, ta dérivation, et tu te dis que les suites, ça ira tout seul. Puis arrive un exercice avec des $u_n$ partout, et tu ne sais plus si tu dois ajouter ou multiplier.
Bonne nouvelle : les suites, c'est l'un des chapitres les plus rentables de Première. Une fois que tu as compris la différence entre arithmétique et géométrique, tu sais traiter la quasi-totalité des exercices. Et comme les suites reviennent en Terminale (avec les limites et la récurrence), bien les maîtriser maintenant te fait gagner un temps fou l'an prochain.
Dans ce cours, on voit ensemble : ce qu'est vraiment une suite, les deux types à connaître par cœur, comment étudier leur sens de variation, la méthode pour ne plus te tromper, les erreurs classiques, et deux exercices type bac corrigés pas à pas.
C'est quoi une suite, au juste ?
Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de la liste s'appelle un terme. On note les termes $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ et de façon générale $u_n$ pour le terme de rang $n$.
La grande différence avec une fonction : une fonction accepte n'importe quel réel en entrée, alors qu'une suite ne prend que des entiers naturels ($0, 1, 2, 3, \dots$). C'est pour ça qu'on écrit $u_n$ et pas $u(n)$, et qu'on représente une suite par des points isolés, jamais par une courbe continue.
Le piège n°1 : confondre $n$ et $u_n$
$n$, c'est le rang (la place dans la liste : 0, 1, 2...). $u_n$, c'est la valeur à cette place. Si $u_n = 2n + 1$, alors $u_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$ : le rang est 3, la valeur est 7. Ne mélange jamais les deux.
Il existe deux façons de définir une suite :
- Forme explicite : $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$. Exemple : $u_n = 3n + 2$. Tu veux $u_{50}$ ? Tu remplaces : $u_{50} = 3 \times 50 + 2 = 152$.
- Forme par récurrence : on donne le premier terme et une relation pour passer d'un terme au suivant. Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 3$. Là, pour avoir $u_{50}$, il faudrait calculer tous les termes avant... sauf si tu reconnais une suite arithmétique ou géométrique. D'où l'intérêt de ce qui suit.
Les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre s'appelle la raison, notée $r$.
Suite arithmétique : les formules
| Élément | Formule |
|---|---|
| Relation de récurrence | $u_{n+1} = u_n + r$ |
| Terme général (départ à $u_0$) | $u_n = u_0 + n \times r$ |
| Terme général (départ à $u_1$) | $u_n = u_1 + (n-1) \times r$ |
| Somme des entiers | $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ |
| Somme de termes consécutifs | $S = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ |
L'image à retenir : une suite arithmétique, c'est une montée (ou une descente) régulière, marche par marche, toujours du même pas. Si $r = 4$, chaque terme vaut 4 de plus que le précédent.
Exemple : $u_0 = 7$ et $r = 5$. Alors $u_1 = 12$, $u_2 = 17$, $u_3 = 22$. Et directement, $u_{20} = 7 + 20 \times 5 = 107$, sans calculer les 19 termes intermédiaires.
Les suites géométriques
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle la raison, notée $q$ (avec $q \neq 0$).
Suite géométrique : les formules
| Élément | Formule |
|---|---|
| Relation de récurrence | $u_{n+1} = u_n \times q$ |
| Terme général (départ à $u_0$) | $u_n = u_0 \times q^n$ |
| Terme général (départ à $u_1$) | $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ |
| Somme (avec $q \neq 1$) | $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ |
| Somme de termes consécutifs | $S = \text{premier} \times \dfrac{1 - q^{\text{nb termes}}}{1 - q}$ |
L'image à retenir : une suite géométrique, ce n'est plus une montée régulière, c'est une explosion (ou une fonte) de plus en plus rapide. Avec $q = 2$, les termes doublent à chaque fois : 3, 6, 12, 24, 48... Ça grimpe vite.
Exemple concret : tu places 1000 € sur un compte qui rapporte 3 % par an. Chaque année, ton capital est multiplié par $1{,}03$. C'est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1000$ et de raison $q = 1{,}03$. Au bout de 5 ans : $u_5 = 1000 \times 1{,}03^5 \approx 1159{,}27$ €.
Tu veux la fiche suites prête à réviser ?
Mes fiches de révision Spé Maths Première couvrent les suites (et tout le reste du programme) en une page claire par notion : définitions, formules, méthode et exemples. Reçues par mail, prêtes à imprimer pour réviser sans tout reprendre dans le cours.
Voir les fiches Spé Maths Première ›Arithmétique ou géométrique : comment les reconnaître
C'est LA question à te poser devant n'importe quelle suite. La réponse tient en deux tests rapides.
| Critère | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| On passe au terme suivant en... | ajoutant $r$ | multipliant par $q$ |
| Test à faire | $u_{n+1} - u_n$ est constant | $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant |
| Terme général | $u_n = u_0 + nr$ | $u_n = u_0 \times q^n$ |
| Type de croissance | linéaire (régulière) | exponentielle (de plus en plus rapide) |
| Exemple | 2, 5, 8, 11, 14 ($r = 3$) | 2, 6, 18, 54 ($q = 3$) |
Le réflexe qui ne trompe jamais
Devant une suite donnée par ses premiers termes, fais les deux calculs : la différence ET le quotient de deux termes consécutifs. Si la différence est constante, c'est arithmétique. Si le quotient est constant, c'est géométrique. Si aucun des deux n'est constant, la suite n'est ni l'une ni l'autre, et il faudra l'étudier autrement.
Le sens de variation d'une suite
Étudier le sens de variation, c'est dire si la suite monte (croissante), descend (décroissante), ou reste stable. La méthode universelle : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
- Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$ : la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$ : la suite est décroissante.
Pour les deux suites du programme, il y a des raccourcis :
Sens de variation : les raccourcis
| Type | Croissante si | Décroissante si |
|---|---|---|
| Arithmétique | $r > 0$ | $r < 0$ |
| Géométrique (termes positifs, $u_0 > 0$) | $q > 1$ | $0 < q < 1$ |
Attention : pour une suite géométrique dont la raison est négative, les termes changent de signe à chaque rang (positif, négatif, positif...). La suite n'est alors ni croissante ni décroissante, elle est dite alternée.
En Première, on s'arrête là : on observe le comportement des termes. L'étude des limites (vers quoi tend la suite quand $n$ devient très grand) et le raisonnement par récurrence arrivent en Terminale. Si tu gardes la Spé Maths, tu retrouveras exactement ces suites avec ces nouveaux outils.
La méthode pour étudier n'importe quelle suite
Quand un exercice te tombe dessus, déroule toujours les mêmes trois étapes. C'est mécanique, et ça t'évite de paniquer.
La méthode en 3 étapes
Étape 1. Identifier le type. Calcule $u_{n+1} - u_n$ (différence) puis $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (quotient). Différence constante : c'est arithmétique. Quotient constant : c'est géométrique.
Étape 2. Trouver le premier terme et la raison. Repère $u_0$ (ou $u_1$) et la valeur de $r$ ou $q$. Ce sont les deux seules données dont tu as besoin pour tout calculer.
Étape 3. Appliquer la bonne formule. Pour un terme précis, utilise le terme général. Pour additionner plusieurs termes, utilise la formule de la somme. Vérifie toujours l'unité et l'ordre de grandeur du résultat.
Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
Parfois, une suite n'est ni arithmétique ni géométrique : on te donne seulement le premier terme et une relation pour passer d'un terme au suivant, du type $u_{n+1} = f(u_n)$. Il n'y a pas de formule directe, mais tu peux toujours calculer les termes un par un. C'est un grand classique des exercices de Première.
Exemple : générer les premiers termes
Énoncé. Soit la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 0{,}5 \times u_n + 3$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Méthode. On applique la relation à chaque étape, en réinjectant le terme précédent.
$u_1 = 0{,}5 \times u_0 + 3 = 0{,}5 \times 2 + 3 = 4$
$u_2 = 0{,}5 \times u_1 + 3 = 0{,}5 \times 4 + 3 = 5$
$u_3 = 0{,}5 \times u_2 + 3 = 0{,}5 \times 5 + 3 = 5{,}5$
Réponse : $u_1 = 4$, $u_2 = 5$, $u_3 = 5{,}5$.
Attention à bien partir du bon terme : une erreur d'un cran au départ décale tous les termes suivants. En Terminale, tu apprendras à étudier le comportement de ce type de suite avec les limites et le raisonnement par récurrence.
Les erreurs fréquentes à éviter
Erreur 1 : se tromper d'exposant dans le terme général
Pour une suite qui démarre à $u_0$, c'est $u_n = u_0 \times q^n$ (exposant $n$). Pour une suite qui démarre à $u_1$, c'est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ (exposant $n-1$). Vérifie toujours à partir de quel rang la suite commence avant de poser ta formule.
Erreur 2 : oublier la condition $q \neq 1$ pour la somme géométrique
La formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ n'a de sens que si $q \neq 1$ (sinon on divise par zéro). Si $q = 1$, tous les termes sont égaux et la somme vaut simplement (nombre de termes) × (valeur du terme).
Erreur 3 : confondre nombre de termes et rang du dernier terme
De $u_0$ à $u_{10}$, il y a 11 termes, pas 10 (on compte $u_0$). Cette erreur d'un terme fausse tout le calcul de somme. Compte sur tes doigts si besoin, mais ne te trompe pas.
Tu veux le détail des pièges qui coûtent le plus de points en contrôle ? J'ai détaillé les erreurs classiques sur les suites et le reste du programme de Spé Maths Première dans un article dédié.
Deux exercices type bac corrigés
Exercice 1 : suite arithmétique
Énoncé. On considère la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Calculer $u_{10}$, puis la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.
Étape 1 : terme général. $u_n = u_0 + nr = 5 + 3n$.
Étape 2 : calcul de $u_{10}$. $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$.
Étape 3 : la somme. De $u_0$ à $u_{10}$, il y a 11 termes. Donc $S = 11 \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{5 + 35}{2} = 11 \times 20 = 220$.
Réponse : $u_{10} = 35$ et $S = 220$.
Exercice 2 : suite géométrique (placement)
Énoncé. Tu places 1000 € sur un compte rémunéré à 3 % par an. On note $u_n$ le capital au bout de $n$ années, avec $u_0 = 1000$. Exprimer $u_n$, puis calculer le capital au bout de 5 ans.
Étape 1 : reconnaître le type. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ (le capital plus 3 %). C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}03$.
Étape 2 : terme général. $u_n = u_0 \times q^n = 1000 \times 1{,}03^n$.
Étape 3 : capital au bout de 5 ans. $u_5 = 1000 \times 1{,}03^5 \approx 1000 \times 1{,}159 \approx 1159{,}27$ €.
Réponse : au bout de 5 ans, le capital vaut environ 1159,27 €.
Ces deux exercices couvrent 80 % de ce qu'on peut te demander sur les suites. La clé, c'est la répétition : plus tu en fais, plus le réflexe "type, raison, formule" devient automatique.
Tu veux t'entraîner sur des dizaines d'exercices ?
Mon cahier d'exercices Spé Maths Première propose des exercices type bac corrigés pas à pas, chapitre par chapitre, suites comprises. De quoi t'entraîner jusqu'à ce que la méthode devienne un réflexe avant l'épreuve anticipée du 12 juin.
Voir le cahier d'exercices ›L'essentiel à retenir
- Une suite est une liste ordonnée de nombres ; $u_n$ est le terme de rang $n$.
- Arithmétique : on ajoute toujours $r$, donc $u_n = u_0 + nr$.
- Géométrique : on multiplie toujours par $q$, donc $u_n = u_0 \times q^n$.
- Sens de variation : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
- La méthode : identifier le type, repérer la raison, appliquer la formule.
Questions fréquentes sur les suites en Première
Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Calcule la différence entre deux termes consécutifs : si elle est toujours la même, la suite est arithmétique. Calcule ensuite leur quotient : s'il est toujours le même, la suite est géométrique. Une suite peut très bien n'être ni l'une ni l'autre.
Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?
Si la suite démarre à $u_0$, le terme général est $u_n = u_0 + n \times r$, où $r$ est la raison. Si elle démarre à $u_1$, c'est $u_n = u_1 + (n-1) \times r$. L'idée est la même : on part du premier terme et on ajoute la raison autant de fois qu'il y a de pas.
Comment calculer la somme des termes d'une suite ?
Pour une arithmétique : somme = (nombre de termes) × (premier + dernier) ÷ 2. Pour une géométrique de raison $q \neq 1$ : somme = premier terme × $\dfrac{1 - q^{\text{nb termes}}}{1 - q}$. Pense à bien compter le nombre de termes.
Les suites sont-elles au programme de l'épreuve anticipée de maths 2026 ?
Oui. Les suites arithmétiques et géométriques font partie du programme de Première et peuvent tomber à l'épreuve anticipée du 12 juin, aussi bien dans la partie automatismes (QCM) que dans les exercices de raisonnement.
Comment montrer qu'une suite est croissante ou décroissante ?
Étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Toujours positif : la suite est croissante. Toujours négatif : elle est décroissante. Pour une arithmétique, ce signe est celui de la raison $r$. Pour une géométrique à termes positifs, compare la raison $q$ à 1.
Quelle est la différence entre une suite et une fonction ?
Une fonction prend en entrée n'importe quel nombre réel ; une suite ne prend que des entiers naturels (0, 1, 2, 3...). On écrit $u_n$ au lieu de $f(n)$. C'est pour ça qu'on représente une suite par des points isolés, pas par une courbe continue.
Les suites, c'est un chapitre où quelques réflexes bien ancrés font toute la différence. Identifie le type, repère la raison, applique la formule : avec cette méthode, tu transformes un chapitre qui fait peur en points faciles. Et tu prends une longueur d'avance pour la Terminale.